Cjue25

Good things take time

第三節最後提到了波耳模型，雖然可以解釋氫原子光譜，但還是有很多無法解釋的地方。

之後，索莫非（Sommerfeld）結合了狹義相對論（考量電子靠近原子核繞行的速度接近光速）和橢圓軌道的概念，試圖說明質量和速度的變化是造成光譜精細結構（fine structure）的原因，但這個模型依然無法解釋其他的實驗結果。

但在繼續看波函數之前，先來看德布羅伊的物質波動假說(這裡我沒有直接寫物質波是因為當時德布羅伊在原始論文中其實還沒有這個詞，是之後物質波動場確立之後才有這個詞(Materiewellen/matter wave) - 待確認)。


我們常學到的過程是，前面在普朗克、愛因斯坦、康普頓等研究和實驗之後，已經知道光有波動和粒子性，所以德布羅伊就想，那電子應該也有個波，所以把愛因斯坦的相對論能量和量子能量放在一起後，移項得

\[\lambda = \frac{h}{p}\]


但這個說法實在是太神來之筆了，所以我決定來回顧德布羅依的原始論文和Nobel Lecture，試著理解當時的思路，來做個筆記。

思路

對於光，最早牛頓認為是粒子性的(composed of small, rapidly moving corpuscles)，後來楊氏干涉實驗使得光是波的概念被普遍解釋且接受。但是接下來的原子論接著被廣泛運用在

  • 化學
  • 物質物理(固體、液體、氣體)
  • 氣體動力
  • 熱力學
  • 電子是一顆一顆的原子模型

至此，物理分成兩類

  • 牛頓古典力學：描述粒子的行為
  • 輻射物理：描述波動的行為，如電磁波。

可是這裡引出的一個問題就是，要如何解釋在這兩類之間的能量交換？

But these two physics could not remain alien one to the other; they had to be fused together by devising a theory to explain the energy exchanges between matter and radiation - and that is where the difficulties arose.


當時有一個荒謬的解釋，在一個熱絕緣介質中(理想封閉系統)，壁面(粒子物質)和空腔內部(電磁波)在達成熱平衡時，因為後者以古典電磁波還看可以有無限多種震動模式(相較於壁面，自由度是有限的)，那麼壁面的能量都被空腔內部吸走了而達到絕對零度了？

簡單的想像就是一個保溫杯不保溫了，內部發光，然後自己結冰了？


後來研究黑體輻射的普朗克提出在計算振子能量時要分成一份一分的，但只是數學上的權衡結果，但這也意味著和外界電磁場達到熱平衡的時候，電磁場的能量交換能力也需要一份一分的，接著愛因斯坦困惑為啥交換的時候變成一份一份，但用古典電磁波理論描述電磁場能量的時候卻是連續的。

1905年進而提出認為電磁場本身也是像氣體這樣一顆一顆的。

至此，電磁場本身的能量本身是不連續的，振子自己的能量也是不連續的，互相交換的能量也是不連續的，所謂的電磁波動性，只是時間平均下來的統計結果，不是瞬間性的。


接著光電效應的實驗和康普頓實驗更是證實了光具備粒子性，不過我們還是需要波動性還解釋光的干涉等行為。


但回歸到古典力學，若一個微觀尺度的電子跑一個封閉軌跡，古力可以有無限多種可能性的能量，但卻只有某些特定的能量才是穩定的？為什麼呢？

德布羅伊從這個疑惑點出發，提出兩點

  • 光量子的公式有頻率項，但竟然光是粒子性，為何要用波動性的頻率描述？只能說對於光來說，代表粒子+周期性的概念勢必要一起討論。
  • 那麼電子運動也牽涉到一些整數，而整數通常是波動邊界條件下的解，所以電子也要討論週期性！

既然如此，不論是物質(matter)還是輻射(radiation)，都要討論粒子性和波動性。兩者並非獨立的平行並存關係，需要連結兩者。

前面大概就是連續的思路了，感覺合理一點在有光量子的概念加上波耳原子模型的背景下，會想到那電子勒？電子有沒有波動性。


不過這整段整理是基於1929年諾貝爾獎演講的回顧，跟1924年剛開始博論提出的有點小差距。

1924年博論的論述是相對論奠定了質量和能量的關係式，反映了一樣的物理事實

Since there is always proportionality between mass and energy, we must consider matter and energy as two synonymous terms designating the same physical reality.

而在已知的電子理解中，認為電子就是一顆一顆的物質帶有能量，可以用質能公式表示(描述能量的慣性質量)，同時量子的能量頻率關係式把能量變成一份一份的(且伴隨某種週期性的振盪)，所以想討論自然能量的統一本質，把兩者劃上等號來看看能得出什麼結果。

The quantum relationship would probably not make much sense if energy could be distributed continuously in space, but we have just seen that this is probably not the case. It is therefore conceivable that as a result of a great law of Nature, to each amount of energy of proper mass, is linked a periodic phenomenon of frequency….This hypothesis is the foundation of our system: it is worth, like all hypotheses, what the consequences that can be deduced from it are worth.

因此接下來，我會分兩個部分呈現德布羅伊描述物質波動性的論述，一個是1924年發博論的時候，一個是1929年的諾貝爾獎演講(1926年薛丁格已提出波函數、1927年戴維森-革末實驗已證實電子的波動干涉)，前者可以看到一開始德布羅伊心中認為的物質波動圖像，後者則是明確的奠定我們常見的波長公式。

1924年德布羅伊心中的物質波動圖像

相對論對於速度為0的靜止物質能量公式(電子也適用)

\[E = m_0c^2\]

量子的能量(isolated energy quantum)我們也知道是對應某種頻率

\[E=hf_0\]

而我們從原子論知道物質是非連續的、質量跟能量又有關係、能量也有類似這種聚焦在各定範圍(singular point)的性質，所以從能量的角度上，德布羅伊將這兩個嘗試結合在一起

\[hf_0 = m_0c^2\]

不過這邊先釐清一下這個德布羅伊認為的這種能量(lump of energy)，並不只是侷限在一個具有邊界性的物理尺寸，而是向外無限延伸的能量場，但中心能量極度濃縮，而所謂粒子(an atom of energy)，而是整個能量場是不可分割的。(或許可以想像一張大網遍佈全宇宙，但這個大網不可分割，而呈現出所謂的粒子性?)

接著，假設這顆電子靜止頻率是$f_0$，開始以速度$v$移動時，相對論的時間(頻率倒數)膨脹效應讓我們知道，移動中物體的內部時鐘

\[f_r = f_0\sqrt{1-\beta^2} = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\]

那量子的呢？不論有沒有速度都是

\[E=hf_q\]

那根據相對論對於有速度的能量

\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}=hf_q\\\]

得到

\[f_q = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

可以看到

\[f_r\neq f_q\]

好像有點奇怪？不過不同就不同，那又如何？反正就只是根據不同的公式算出來的。


我們重新來看在算的是什麼

  • 頻率 $f_r$（相對論的時鐘）： 速度越快，頻率越慢。它代表的是粒子「內部」的固有屬性（就像是跟著電子一起飛行的手錶)。
  • 頻率 $f_q$（量子論的能量）： 速度越快，能量越大，頻率越快。它代表的是整坨能量所對應的波動性質。


可是兩者都是在描述同一個電子，如果用前言的大網來看，$f_r$就是大網中心能量集中的震動狀態，而$f_q$或許可以想像大網向外延伸的波動。所以算出來頻率這麼不同其實有點割裂，德布羅伊想找到一個能夠解釋兩個的統一規律。 (有趣的是我們不會去算$E=hf_r$，不然就會變成速度越快，頻率越慢，能量越小了。)

Phase Harmony Theorem

所以接著德布羅伊就提出了 Phase Harmony Theorem

來看假設經過時間t，物體跑的距離

\[x = vt = \beta c t\]

算相位，理論上是$f\times t$代表經歷的週期數量或圈數，一圈$2\pi$，相位是$2\pi ft$，但反正都會消掉，所以就算$ft$就好。

因此物體內部相位(跟著電子走，所以不用扣延遲時間)

\[f_r \times t = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]

伴隨的外部相位，因為是站在外部的x位置看的，波行進的時間是$(x/V)$，其中$V$是相速，所以時間$t$，$x$位置看到的相位理論是之前的$(t-\frac{x}{V})$，又相速

\[V=\frac{c}{\beta}\]

所以

\[f_q\times(t-\frac{\beta x}{c}) = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\frac{x}{\beta c}-\frac{\beta x}{c}\right)\\ = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]

阿！兩者一樣了！剛剛頻率兩者雖然不同，但物體內部的滴答聲，永遠和往前飛的某個周期性的波動現象有同步相位。

德布羅伊提供了一個想像圖，假設有一塊巨大的水平圓盤，圓盤下方掛滿了無數個一模一樣的「彈簧與砝碼」。圓盤中心的彈簧掛得非常密集（代表電子中心極度濃縮的能量），越往邊緣越稀疏。一開始大家都在同一個位置，然後一起震盪，所以當靜止的時候，砝碼永遠都是整齊劃一的一條線上下震動，對應的就是電子靜止時的內部時鐘$f_0$。

但圓盤開始有速度移動，對於靜止的觀察者而言，相對論效應可以看

  • 長度收縮，圓盤變扁。
  • 時間膨脹，上下變慢。
  • 非同時性，圓盤運動前方和後方的時間不同，所以大家不同步了。

這樣就造成每個砝碼的時間不一樣了，所以這時再把所有的砝碼連起來就可以看到一個波形。

而所謂的phase一致，就是如果暫時拍一張照片，所有砝碼連在一起的波形波峰處，剛好就會是某一個砝碼的頭上。


至此，若原本頻率不同的東西會有這種相位同步的現象，那勢必其有物理的關聯。

白話一點的就是說物質在飛的時候，確實與一個波動現象有絕對的關連。

The preceding results seem to us to be of extreme importance because, using a hypothesis strongly suggested by the very notion of quantum, they establish a link between the motion of a moving entity and the propagation of a wave and thus suggest the possibility of a synthesis of antagonistic theories on the nature of radiation. Already, we can note that the rectilinear propagation of the phase wave is linked to the rectilinear motion of the moving entity; the Fermat principle applied to the phase wave determines the shape of these rays which are straight lines while theMaupertuis principle applied to the moving entity determines its rectilinear trajectory which is one of the rays of the wave.

1929年諾貝爾得獎的論述

簡單地，我們從一個靜止的自由粒子(corpuscle)出發，竟然靜止的，那麼對應的波動也是stationary的(注意不是駐波)，相位在每個點都是相同的(沒有空間特性)，所以可以描述

\[\sin2\pi f_0(t_0-\tau_0)\]

設粒子在該系統裡的速度為

\[v=\beta c\]

先只看x軸上的運動，另外一個觀察者的坐標系用勞倫茲轉換

\[t_0 = \frac{t-\frac{\beta x}{c}}{\sqrt{1-\beta^2}}\]

得到的波

\[\sin 2\pi \frac{f_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t-\frac{\beta x}{c}-\tau_0\right)\]

對該觀察者的頻率就是

\[f = \frac{f_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ \beta = \sqrt{1-\frac{f_0}{f^2}}\]

計算相速度

\[V_p = \frac{c}{\beta} = \frac{c^2}{v}\]

再來套用折射率的公式，計算真空光速和在真空介質中物質波相速的比值

\[n = \frac{c}{V_p}=\frac{c}{\frac{c}{\beta}}=\beta=\sqrt{1-\frac{f_0}{f^2}}\]

這代表啥勒？代表對於物質波來說，真空就是色散介質。

所以求群速

\[\frac{1}{V_g} = \frac{1}{c}\frac{\partial (nf)}{\partial f}\\ V_g = v\]

得到群速度就是粒子的運動速度！結合了波和粒子速度！！


接者我們再繼續把這些參數和力學參數的動量和能量放在一起，已知

\[E = hf\]

結合相對論

\[hf_0 = m_0 c^2\]

那麼動量

\[p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{\frac{h f_0}{c^2} v}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{f_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{h}{c^2}v = f\frac{h}{c^2}v = \frac{Ev}{c^2} = \frac{Ev}{vV_p} = \frac{hf}{V_p} = \frac{h}{\frac{V_p}{f}} = \frac{h}{\lambda}\]

得

\[\lambda = \frac{h}{p}\]

即便引入靜力場，也一樣

\[\lambda(x,y,z) = \frac{h}{p(x,y,z)}\]

Fermat’s principle & Maupertuis’ principle

費馬原理是在說光走最短時間(波)，算的是以下極值

\[\int_A^B ndl\]

Maupertuis則是最小作用量(粒子)，算的是以下極值

\[\int_A^B pdl\]

從上述結合公式來看，可以發現這兩個是同一回事，可以彼此解釋

\[n = \frac{c}{V_p}=\frac{c}{f}\frac{1}{\lambda}=\frac{c}{hf}\frac{h}{\lambda} = \frac{c}{E}p = const.p\]

It follows that Fermat’s and Maupertuis’ principles are each a translation of the other and the possible trajectories of the corpuscle are identical to the possible rays of its wave.

反過來應用到光

光子靜止質量為零，所以得到光能量與動量的關係

\[E=pc\]

結合在一起

\[pc = hf\]

又

\[c = f \lambda,\quad f = \frac{c}{\lambda}\] \[pc = h \frac{c}{\lambda}\\ p = \frac{h}{\lambda}\]

移項

\[\lambda = \frac{h}{p}\]

小結

  • 就像我們知道幾何光學是波動的一種近似，古力也是波動的一種近似。
  • 量子力學背後是一個波動的理論，整數倍和量子化本身是波的特性(BC)，重點一直都是物質為什麼有波的特性。

    The two mechanics, wave and quantum, are equivalent from the mathematical point of view.

補充 - 電子波干涉

Davisson-Germer Experiment

  • http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/DavGer.html
  • http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/DavGer.html#c1

電子雙狹縫干涉實驗

  • https://en.wikipedia.org/wiki/Matter_wave#:~:text=Experimental%20confirmation

德布羅伊的博論也有再繼續探討波耳的氫原子模型以及氣體的統計熱學，有些想法的確很有趣，到現在也都有更完整的解釋。 但我先停在這裡，先繼續往後面走，將來得空時再來回顧。

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