(5) 量子 ─ 波函數
第三節最後提到了波耳模型，雖然可以解釋氫原子光譜，但還是有很多無法解釋的地方。
之後，索莫非（Sommerfeld）結合了狹義相對論（考量電子靠近原子核繞行的速度接近光速）和橢圓軌道的概念，試圖說明質量和速度的變化是造成光譜精細結構（fine structure）的原因，但這個模型依然無法解釋其他的實驗結果。
德布羅伊提出物質波
1924年，德布羅伊就想，大自然是對稱的，如果光可以是粒子，加上之前普朗克和愛因斯坦的結果，就想著，那電子也可以是波阿！
而且我們現在已經知道低速+宏觀物質是古典力學，高速+宏觀物質是相對倫，那微觀物質也許也有別的理論可以來描述。
現在來回顧原始德布羅伊的論文，他的思路是這樣的：
相對論對於速度為0的物質我們知道能量和質量之間的關係
\[E=mc^2\]竟然如此也許能量和質量都能對應到一個 same physical reality.
接著後來發展的原子論我們定義物質(matter)應該是一個一個非連續的，然後質量又跟能量有關係，所以能量有類似這種聚焦在各定範圍(singular point)的性質。
然後相對論性下的動能
\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-m_0c^2 = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} - 1\right)\\ \text{(low velocity for classical form : }E_{kin} = \frac{1}{2}m_0 v^2)\]那麼量子呢？量子的能量怎麼和相對論的能量放在一起討論？
量子的能量我們知道是離散式的，但是會跟一個周期性的頻率有關係
\[E=hf\]前面物質我們也定義是非連續的，那就放在一起
\[hf = m_0c^2\]但是這個頻率(週期性的現象)對物質來說代表什麼呢？
我們先來算一下，若物體開始有速度時，前面的公式是物體自己的視角，用靜止能量算出來的一個自己的頻率。
而對於靜止觀察者來說，觀察移動物體，相對論告訴我們時間會膨脹，所以在移動的物體的頻率變成，這裡$f$的替換沒問題，因為本來就是物體靜止時自己的固有頻率。
\[f_r = f\sqrt{1-\beta^2} = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\]這也符合相對論原本的狀態，移動速度越快，頻率越慢。
接下來我們看能量，相對論說，移動速度越快，能量越大，也感覺合理(包含靜止能量和動能)
\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\]可是從量子的公式再帶進去，量子其實有一個概念就是頻率越大能量越大
\[E=hf_q = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ f_q = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\]可以看到
\[f_r\neq f_q\]好像有點奇怪！
第一個是因為相對論速度變快，頻率變慢。第二個是相對論速度越快，能量越大。感覺也沒啥毛病，可是重點就在於相對論即便頻率和能量都和速度有關，但是是分開來看的物理量。譬如說你用力丟一個時鐘，時鐘往前飛的速度很快，時鐘裡面的齒輪變慢了，但飛得快有大動能，所以整個能量很大(撞到牆壁的時候破壞力強)。所以相對論本身沒問題。
但現在量子讓頻率和能量產生了關係，能量大頻率就會越大，才會得出這樣反向的結果。
注意的地方是算能量的時候，量子的頻率都只會用$E=h f_q$，不會用$E=h f_r$，不然就變成頻率越大能量越小了。
隱約代表了內部變慢這個時鐘的能量，不能代表這個移動電子的總能量。
所以接著德布羅伊就提出了 Phase Harmony Thorem
來看剛假設經過時間t，物體跑的距離
\[x = \beta c t\]物體內部相位
\[f_r \times t = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]伴隨的相位
\[f_q\times t = f_q\times(t-\frac{\beta x}{c}) = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\frac{x}{\beta c}-\frac{\beta x}{c}\right)\\ = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]阿！兩者一樣了！剛剛頻率兩者雖然不同，但物體內部的滴答聲，永遠和往前飛的某個周期性的波動現象有同步相位。
至此，若原本頻率不同的東西會有這種相位同步的現象，那勢必其有物理的關聯。
白話一點的就是說物質在飛的時候，確實與一個波動現象有絕對的關連。
The preceding results seem to us to be of extreme importance because, using a hypothesis strongly suggested by the very notion of quantum, they establish a link between the motion of a moving entity and the propagation of a wave and thus suggest the possibility of a synthesis of antagonistic theories on the nature of radiation. Already, we can note that the rectilinear propagation of the phase wave is linked to the rectilinear motion of the moving entity; the Fermat principle applied to the phase wave determines the shape of these rays which are straight lines while theMaupertuis principle applied to the moving entity determines its rectilinear trajectory which is one of the rays of the wave.
愛因斯坦和普朗克已經告訴我們光子
\[E = hf\]相對論第七節我們知道
\[E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\]德布羅伊從速度版的能量開始
\[\frac{E}{c^2} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\\]相對論性的動量
\[p = \frac{m_0v}{\sqrt{1-\beta^2}}\] \[\Rightarrow p = \frac{E}{c^2}v = \frac{hf}{c^2}v\]又v用相速度V表示
\[V = \frac{c^2}{v}\]得到
\[p = \frac{hf}{c^2} \frac{c^2}{V} = \frac{hf}{V} = \frac{h}{\lambda}\]再來我們看動量版的能量，光子靜止質量為零，所以得到光能量與動量的關係
\[E=pc\]結合在一起
\[pc = hf\]又
\[c = f \lambda,\quad f = \frac{c}{\lambda}\] \[pc = h \frac{c}{\lambda}\\ p = \frac{h}{\lambda}\]移項
\[\lambda = \frac{h}{p}\]