(5) 量子 ─ 波函數
第三節最後提到了波耳模型，雖然可以解釋氫原子光譜，但還是有很多無法解釋的地方。
之後，索莫非（Sommerfeld）結合了狹義相對論（考量電子靠近原子核繞行的速度接近光速）和橢圓軌道的概念，試圖說明質量和速度的變化是造成光譜精細結構（fine structure）的原因，但這個模型依然無法解釋其他的實驗結果。
德布羅伊提出物質波
1924年，德布羅伊就想，大自然是對稱的，如果光可以是粒子，加上之前普朗克和愛因斯坦的結果，就想著，那電子也可以是波阿！
而且我們現在已經知道低速+宏觀物質是古典力學，高速+宏觀物質是相對倫，那微觀物質也許也有別的理論可以來描述。
現在來回顧原始德布羅伊的論文，他的思路是這樣的：
相對論對於速度為0的靜止物質能量公式(電子也適用)
\[E = m_0c^2\]量子的能量(isolated energy quantum)我們也知道是對應某種頻率
\[E=hf_0\]而我們從原子論知道物質是非連續的、質量跟能量又有關係、能量也有類似這種聚焦在各定範圍(singular point)的性質，所以從能量的角度上，德布羅伊將這兩個嘗試結合在一起
\[hf_0 = m_0c^2\]不過這邊先釐清一下這個德布羅伊認為的這種能量(lump of energy)，並不只是侷限在一個具有邊界性的物理尺寸，而是向外無限延伸的能量場，但中心能量極度濃縮，而所謂粒子(an atom of energy)，而是整個能量場是不可分割的。(或許可以想像一張大網遍佈全宇宙，但這個大網不可分割，而呈現出所謂的粒子性?)
接著，假設這顆電子靜止頻率是$f_0$，開始以速度$v$移動時，相對論的時間(頻率倒數)膨脹效應讓我們知道，移動中物體的內部時鐘
\[f_r = f_0\sqrt{1-\beta^2} = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\]那量子的呢？不論有沒有速度都是
\[E=hf_q\]那根據相對論對於有速度的能量
\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}=hf_q\\\]得到
\[f_q = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\]可以看到
\[f_r\neq f_q\]好像有點奇怪？不過不同就不同，那又如何？反正就只是根據不同的公式算出來的。
我們重新來看在算的是什麼
- 頻率 $f_r$（相對論的時鐘）： 速度越快，頻率越慢。它代表的是粒子「內部」的固有屬性（就像是跟著電子一起飛行的手錶)。
- 頻率 $f_q$（量子論的能量）： 速度越快，能量越大，頻率越快。它代表的是整坨能量所對應的波動性質。
可是兩者都是在描述同一個電子，如果用前言的大網來看，$f_r$就是大網中心能量集中的震動狀態，而$f_q$或許可以想像大網向外延伸的波動。所以算出來頻率這麼不同其實有點割裂，德布羅伊想找到一個能夠解釋兩個的統一規律。 (有趣的是我們不會去算$E=hf_r$，不然就會變成速度越快，頻率越慢，能量越小了。)
Phase Harmony Theorem
所以接著德布羅伊就提出了 Phase Harmony Thorem
來看假設經過時間t，物體跑的距離
\[x = vt = \beta c t\]算相位，理論上是$f\times t$代表經歷的週期數量或圈數，一圈$2\pi$，相位是$2\pi ft$，但反正都會消掉，所以就算$ft$就好。
因此物體內部相位(跟著電子走，所以不用扣延遲時間)
\[f_r \times t = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]伴隨的外部相位，因為是站在外部的x位置看的，波行進的時間是$(x/V)$，其中$V$是相速，所以時間$t$，$x$位置看到的相位理論是之前的$(t-
frac{x}{V})$，又相速
所以
\[f_q\times(t-\frac{\beta x}{c}) = \frac{m_0c^2}{h}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\frac{x}{\beta c}-\frac{\beta x}{c}\right)\\ = \frac{m_0c^2}{h}\sqrt{1-\beta^2}\times\frac{x}{\beta c}\]阿！兩者一樣了！剛剛頻率兩者雖然不同，但物體內部的滴答聲，永遠和往前飛的某個周期性的波動現象有同步相位。
德布羅伊提供了一個想像圖，假設有一塊巨大的水平圓盤，圓盤下方掛滿了無數個一模一樣的「彈簧與砝碼」。圓盤中心的彈簧掛得非常密集（代表電子中心極度濃縮的能量），越往邊緣越稀疏。一開始大家都在同一個位置，然後一起震盪，所以當靜止的時候，砝碼永遠都是整齊劃一的一條線上下震動，對應的就是電子靜止時的內部時鐘$f_0$。
但圓盤開始有速度移動，對於靜止的觀察者而言，相對論效應可以看
- 長度收縮，圓盤變扁。
- 時間膨脹，上下變慢。
- 非同時性，圓盤運動前方和後方的時間不同，所以大家不同步了。
這樣就造成每個砝碼的時間不一樣了，所以這時再把所有的砝碼連起來就可以看到一個波形。
而所謂的phase一致，就是如果暫時拍一張照片，所有砝碼連在一起的波形波峰處，剛好就會是某一個砝碼的頭上。
至此，若原本頻率不同的東西會有這種相位同步的現象，那勢必其有物理的關聯。
白話一點的就是說物質在飛的時候，確實與一個波動現象有絕對的關連。
The preceding results seem to us to be of extreme importance because, using a hypothesis strongly suggested by the very notion of quantum, they establish a link between the motion of a moving entity and the propagation of a wave and thus suggest the possibility of a synthesis of antagonistic theories on the nature of radiation. Already, we can note that the rectilinear propagation of the phase wave is linked to the rectilinear motion of the moving entity; the Fermat principle applied to the phase wave determines the shape of these rays which are straight lines while theMaupertuis principle applied to the moving entity determines its rectilinear trajectory which is one of the rays of the wave.
TODO
愛因斯坦和普朗克已經告訴我們光子
\[E = hf\]相對論第七節我們知道
\[E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\]德布羅伊從速度版的能量開始
\[\frac{E}{c^2} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\\]相對論性的動量
\[p = \frac{m_0v}{\sqrt{1-\beta^2}}\] \[\Rightarrow p = \frac{E}{c^2}v = \frac{hf}{c^2}v\]又v用相速度V表示
\[V = \frac{c^2}{v}\]得到
\[p = \frac{hf}{c^2} \frac{c^2}{V} = \frac{hf}{V} = \frac{h}{\lambda}\]再來我們看動量版的能量，光子靜止質量為零，所以得到光能量與動量的關係
\[E=pc\]結合在一起
\[pc = hf\]又
\[c = f \lambda,\quad f = \frac{c}{\lambda}\] \[pc = h \frac{c}{\lambda}\\ p = \frac{h}{\lambda}\]移項
\[\lambda = \frac{h}{p}\]