(5) 量子 ─ 波函數

第三節最後提到了波耳模型，雖然可以解釋氫原子光譜，但還是有很多無法解釋的地方。

之後，索莫非（Sommerfeld）結合了狹義相對論（考量電子靠近原子核繞行的速度接近光速）和橢圓軌道的概念，試圖說明質量和速度的變化是造成光譜精細結構（fine structure）的原因，但這個模型依然無法解釋其他的實驗結果。

德布羅伊提出物質波

1924年，德布羅伊就想，大自然是對稱的，如果光可以是粒子，加上之前普朗克和愛因斯坦的結果，就想著，那電子也可以是波阿！

而且我們現在已經知道低速+宏觀物質是古典力學，高速+宏觀物質是相對倫，那微觀物質也許也有別的理論可以來描述。

愛因斯坦和普朗克已經告訴我們光子

\[E = hf\]

相對論第七節我們知道

\[E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\]

德布羅伊從速度版的能量開始

\[\frac{E}{c^2} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\\]

相對論性的動量

\[p = \frac{m_0v}{\sqrt{1-\beta^2}}\] \[\Rightarrow p = \frac{E}{c^2}v = \frac{hf}{c^2}v\]

又v用相速度V表示

\[V = \frac{c^2}{v}\]

得到

\[p = \frac{hf}{c^2} \frac{c^2}{V} = \frac{hf}{V} = \frac{h}{\lambda}\]

再來我們看動量版的能量，光子靜止質量為零，所以得到光能量與動量的關係

\[E=pc\]

結合在一起

\[pc = hf\]

又

\[c = f \lambda,\quad f = \frac{c}{\lambda}\] \[pc = h \frac{c}{\lambda}\\ p = \frac{h}{\lambda}\]

移項

\[\lambda = \frac{h}{p}\]