量子 ─ 光電效應

Einstein’s Quantum Hypothesis

接續黑體輻射，前面說到普朗克在計算具有特定頻率的單一振子的平均能量時，引入了能量包，看該頻率總共有多少個能量包去統計平均，而該振子該頻率的每一個nhf只是一種數學上的狀態。

1905年，愛因斯坦對普朗克的這種一致性感到困惑，即便只是數學上的權衡結果，可是這個數學的意義意味著

• 黑體輻射在看的是這些壁上的振子與外界電磁場熱平衡(動態平衡)的狀態，所以當普朗克說每個振子的能量量子化，代表振子與電磁場交換也必須是量子化。(譬如A振子都必須是1hf, 3hf，總不可能吸收什麼0.3hf = 1.3hf)。
• 站在電磁場的角度，他給振子或從振子獲得的能量也會是量子化。
• 可是電磁場的能量仍然連續，譬如說電磁場可以+- 2hf，但你還是能用2.3253hf來描述電磁場。(這個連續是為了維持古典電磁波波動的結果)。

所以愛因斯坦覺得有些奇怪，奇怪的點就在於沒道理交換都是整數倍，但是電磁場本身卻仍能接受任意有小數點的數值。

所以1905年，論文On a heuristic point of view concerning the production and transformation of light，沒有直接用普朗克的公式，而是先由維恩公式出發，結合熱力學的熵的關係式，發現

\[S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \lg \frac{V}{V_0}, \quad \beta = \frac{h}{k}\]

跟我們之前熱力學第八節的公式(k是波茲曼常數)

\[S-S_0 = N\cdot k\ln\frac{V}{V_0}\]

幾乎是一樣的。

而這公式當時是在描述氣體的絕熱自由膨脹是一樣的，所以有了一個啟發性的想法認為電磁場本身可能也是像氣體一樣是一顆一顆的。

This equation shows that the entropy of a monochromatic radiation of sufficiently low density varies with the volume according to the same law as the entropy of an ideal gas or that of a dilute solution. The equation just found shall be interpreted in the following on the basis of the principle introduced into physics by Mr. Boltzmann, according to which the entropy of a system is a function of the probability of its state.

那對應起來呢?

\[N\cdot k = \frac{E}{\frac{h}{k} \nu}\\ E = Nh\nu\]

所以單顆就是

\[E = h\nu\]

表示了這一顆一顆的光的載體攜帶能量就是這樣量子化離散性的！

According to the assumption to be contemplated here, when a light ray is spreading from a point, the energy is not distributed continuously over ever-increasing spaces, but consists of a finite number of energy quanta that are localized in points in space, move without dividing, and can be absorbed or generated only as a whole.

解惑了原本電磁場還必須維持連續性的弔詭感。

1926 年後，我們稱這個light quanta = photon。

但是，畢竟馬克士威之後，這些光波的現象(e.g., 干涉、繞射)幾乎理論和實驗都堅不可摧，所以愛因斯坦進一步提出解釋我們一般看到的這些光學現象是一種時間平均的行為(平均的話就是除法了，不論是你分子太大變動太小，或是分母很大，只要切得夠細，看起來就幾乎是連續的結果了)。

接著1906年，愛因斯坦進一步證出，普朗克數學上計算的$nhf$，是真實的物理現象，$n$是level的概念，可以表述在該微觀組態下，該振子(該頻率)的實際能量階級，並且以階級相差(整數倍)的$hf$來吸收或放出輻射。

在宏觀世界裡，譬如說去算一個綁著彈簧的小木塊振動，$E=nhf$算完之後，會發現n的數量級是$10^{32}$倍，這樣能階之差相較於能量來說$(10^{32}-1)$實在是太小了，所以宏觀才體感不到能量量子化，

至此，電磁場本身的能量本身是不連續的，振子自己的能量也是不連續的，互相交換的能量也是不連續的，所謂的電磁波動性，只是時間平均下來的統計結果，不是瞬間性的。

The Photoelectric Effect

1902年Lenard實驗，簡單來說就是光照一個金屬管，裡面的金屬板發射出電子，接收端接收電子，讓整個迴路產生了電流。

這個就叫做光電效應，而跑出來的電子就叫做光電子(photoelectrons)。

古典電磁波的理解是，當一個光照到金屬板，金屬板會受到這個電場的頻率來回震動，然後累積能量太強的話就會克服束縛力跑出來到接收器，產生光電流。

而古典電磁波的能量強代表著電磁波振福大(光強)，所以理論上用光強越強的照金屬板，產生的光電流應該也更大(更多電子跑出來)。

這段敘述就有了三個古典的概念

1. 光的能量正比於振福(光強)。
2. 即便光強很低，能量有累積的概念，所以天長地久之後電子終會跑出來。
3. 能量跟頻率無關，所以打什麼光都無所謂，只要能量有到就好。

可是實驗發現

1. 在有電子跑出來的情況下，的確光強越強，光電流越強，符合古典電磁波。
2. 做反向實驗發現不論光強多大，沒有電流的負向電壓(截止電壓)都一樣，負向電壓可以用來算這時還能克服的電子最大動能是多少，\(\frac{1}{2}mv^2_{max}=eV_0\)。→ 出現疑惑，為什麼光強強弱無法影響電子最大動能? 理論上給的能量越大，電子動能應該要越大。
3. 在沒有電子跑出來的實驗中，光強再強，都沒有光電流，但換更高的頻率就能跑出來。→ 決定能量的是頻率(底限頻率)？
4. 弱光強，高頻率，能瞬間打出來(小於$3\times 10^{-9}s$。→ 沒有能量時間累積的概念了。

得到的觀察結果就是

1. 被打出來的光電子動能跟頻率有關，跟光強無關。 (頻率先決定能不能跑出來以及跑多快)
2. 光強代表單位時間內的光子數，光強越強，光子數越多，當光頻率超過底限頻率時，夠強的光子數多，自然被打出的電子數就越多。 (光強決定跑出來多少)
3. 能量的獲取是順時的，沒有累積性。

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Photoelectric Equation

把光子的概念套回來光電效應。

在光電子出來的時候，代表一個光子把他所有的能量都給了電子，電子就跑出來。

In the process of photoemission a single photon gives up all its energy to a single electron.

所以當光強越強(光子越多)代表能打出來的電子就越多。

而能打出來的最大速率，和光強無關，和頻率有關

\[E=hf=\frac{1}{2}mv_{max}^2+\phi\]

能量要大過電子從物體跑出來的最低值work function$(\phi)$才可以開始有動能，而能量又取決於頻率，所以只有特定頻率才能夠打出來。

接者可以算這個最低值

\[hf_0=\phi\\ eV_0=h(f-f_0)\]

畫個$V_0$和$f$的$x-y$圖就是一條斜率$h/e$的直線，被後來Millikan的實驗證實！而這個斜率的參數也表示和材質無關。

至此光子很好的解釋了光電效應

• 特定頻率才有足夠的能量能夠把電子打出來。
• 光強大代表光子數量多，數量多打出來的電子也多(前提是有先過work function)。
• 粒子性的概念，要嘛就打中，給得起能量，要不然就沒打中，或是能量給不起就沒了。

康普頓效應

到此時，科學家還是有點難接受電磁波本身的能量是量子化的。1923年康普頓實驗用X光去射石墨，再次奠定了這個概念。

我們先來用古典電磁理論來預測結果

• 湯姆森散射：假設X光是頻率f的電磁波，帶來的電磁場波動是以f的頻率在振動，掃到電子時，電子受到這個f頻率的週期性擾動力，以及加上電子原本對原子核的束縛力，就很像是我們以前解木塊的簡諧運動一樣，這個電子的微分方程解也是以f的頻率在震動(Force Oscillation)，進而輻射出也是f的頻率光。(re-radiate)
• 如果這個X光的能量相較於電子束縛力來說太大，墊子會被光波推著跑，電子邊震動邊遠離，所以看到的頻率光會有一點紅移(都普勒效應)和因為脈衝導致的寬頻雜訊。
• 以第一點來說，因為觀察的位置可能也有包含原本入射的光，但電子震動在輻射的光會是全方位的(當然還有震動方向的限制)，但我們可以選擇站在90度觀察點的位置，預期這裡量到的光就是電子再輻射的光，並且要和原入射光頻率相同。
• 以第二點來說，我們還是可以站在90度，但就會觀察到頻率略減的光，而且光強越強，應該頻率會減得更多。

然而，康普頓站在90度的實驗結果是

• 看到了一條跟入射光一樣頻率的光 (OK)
• 還看到了一條比入射光頻率再小一點的光 (！?)

你說，那也許第二條就是前面說的第二點原因是都普勒效應的結果，那麼波長偏移量會和光強有關係，可是康普頓實驗不論如何改變光強，也不會造成這個偏移量的變化，只有散射角度會影響偏移量，而且這個波峰是尖銳的，也也沒看到什麼預期的雜訊或寬頻譜。

因此為了解釋第二條，康普頓決定用愛因斯坦的光量子，利用粒子間的碰撞來解釋這個結果。

所以就變成入射的X光光子打到了電子，這時候分兩類

• 打到的是靠近原子核束縛力較大的電子，電子跑不掉，對光子來說是撞到了整個原子，碰撞後直接以原本的能量反彈，看到了一樣的頻率。
• 打到的是靠近原子外側的電子，因為束縛力較低，被打到之後電子就視為自由電子飛出去，這時候光子和電子有動量和能量的交換，電子帶走了部分能量，那麼光子勢必就會用更低的能量反彈，解釋了第二條位移的波峰。

整個碰撞過程簡單的用能量和動量守恆計算就可得，並且能量就是用$E=hf$，奠定電磁波能量本身就是量子化的概念。

可能會有的疑問是，那電子飛出去之後，不會再有加速度帶來的另外一個輻射嗎？

這裡涉及到的是量子電動力學(QED)的概念，我也還沒有參透，但大致意思是說，古典電磁理論說的電子加速度發射的輻射，等價於電子吸收一個光子的能量之後，再把剩餘的用另外一個光子發射出來。

所以這裡說到的兩個波峰，都是電子吸收在放出光子的過程(加速度震動的輻射)，只是束縛力大的電子幾乎沒影響，能量沒損耗，所以原本的光子再自己出去。束縛力小的電子有吸到，變成自由電子飛走了，隨即發射出新的一顆能量較低的光子。撞擊彈開的瞬間，就決定了這顆偏移光的樣子。