量子 ─ 簡單筆記
談到量子力學,最重要的起始就是普朗克的黑體輻射和愛因斯坦的光電效應,兩者皆用到了能量是不連續的概念,爾後拉瑟福提出原子核,波爾解釋了氫原子光譜繼續延伸量子的世界。
黑體輻射
我們常識知道靠近一個溫度較高物體,會感覺到熱(heat),這個放出熱輻射在古典上認為來自於電子加速和分子的震盪。
而這個熱輻射產出的波長分布,只和該物體的溫度有關,和物體材質無關。
對於一個可以完全吸收周遭輻射的理想物體我們稱為黑體(Blackbody),當其與周遭環境達成熱平衡,吸收的輻射等於放出的輻射,我們可以進一步想像這個黑體開一個小洞(cavity),吸收外界進來的輻射,並也透過這個洞放出輻射。這個放出輻射的過程,我們便稱為黑體輻射(Blackbody Radiation)。
一樣地,這個輻射產生的波長分布和cavity wall的材質無關,只和該黑體的溫度有關。
這個波長分布圖如下,分別有兩條公式描述實驗結果
- Wien’s Radiation Law: \(\mu_\lambda(T)=A\lambda^{-5}e^{-B/ \lambda T}\)
- Rayleigh-Jeans Law: \(\mu_\lambda(T)=CT\lambda^{-4}\)

Image link(上網找的圖,橫軸是頻率)
可以看見Wien的在短波長(高頻)比較符合,Rayleigh-Jeans則是在長波長(低頻)較符合。
他們怎麼求的?
普朗克 Planck’s Radiation Law
擅長於熱動力學的普朗克繼續研究這個問題,他增加了一個條件去解:
任何系統的熵(Entropy)在達成熱平衡時會是最大值。
而這個黑體輻射的系統(radiating oscillators in the walls of a cavity,就是這些腔體壁上的振子在與外界做能量交換),在Entropy要最大化的條件下,他解出來描述黑體輻射波長分布實驗結果的公式(Planck’s radiation law):
\[\mu_\lambda=\frac{8\pi hc \lambda ^{-5}}{e^{hc/ \lambda kT}-1}\]可以看到在短波長和長波長的近似下,各自會回到Wein’s Law和Rayleigh-Jeans Law,漂亮地解決了這個問題!
但是當時為了計算熵,普朗克想用統計力學的方式去處理這個振子系統的「總能量」能夠有多少種分配方式時,卻發現若將總能量依舊視為連續化,會有無限個分配方式,所以普朗克決定將「所有振子的總能量拆分成一份一份的」:
\[\epsilon=hf, \quad h=6.626\times 10^{-34} J\cdot s\]才得到上述的公式。
但對於普朗克來說,這只是一種數學上的方法,並沒有真的認為能量必須是這樣離散的。
愛因斯坦 Einstein’s Quantum Hypothesis
1906年,愛因斯坦證明Planck’s radiation law要滿足還有個條件,必須是每一個振子自己的能量(不是前面說的總能量)都只能以$hf$為單位吸收或放出能量,定出離散化的能階
\[E_n=nhf,\quad n=0,1,2,3,\dots\]能階差取決於頻率,這個我們稱為 Einstein’s Quantum Hypothesis。
這個跟古典的認知也開始不一樣了,古典上我們並沒有對一個振子吸收或放出的能量有任何限制。
在宏觀的世界裡,隨意舉一個綁著彈簧的木塊簡諧震盪來看,頻率很小,能量差相對於總能量非常小,所以我們通常不會感受到能量量子化的狀態,只有到微觀程度的問題時,這個差距才會變得明顯。
隨後到1910年,普朗克也接受了每一個振子本身自己的能量會量子化的想法。
光電效應
1865年Maxwell’s equation理論推得光是電磁波,後也經實驗證實。1902年Lenard實驗,簡單來說就是光打進一個金屬管,裡面的金屬板發射出電子,接收端接收電子,讓整個迴路產生了電流。
若加上足夠的正偏壓後,所有光電子都會被收集,電流達到飽和,不會再變動。
接著把電位反過來,只有有著最大動能的電子才能克服到達接收端,我們可以用以下表示這個stopping potential
\[eV_0=\frac{1}{2}mv_{max}^2\]然後發現幾個現象
- 在正壓的部分,光強越大,跑出來的光電子數量越多(電流大,與波動符)。
- 認為弱光應該要有「逐漸累積能量」的時間,但實驗顯示延遲不到$3\times 10^{-9}s$,幾乎可以忽略,看起來能不能跑出光電子沒有光強的門檻限制。(與波動不符)
- 在負壓的部分,即便用更大的光強打,都不會影響最大的速度,最大速度只和板子的材質和入射光光頻率有關,跟光強度無關(與波動不符,根據波的理論,只要光強夠強,任何頻率應該都能打出來。)
光子
1905年,愛因斯坦對於之前的黑體輻射有進一步的見解。
前面說到普朗克假設總能量可以被區分一個一個的,但仍然認為電磁波的能量是連續的。而在Maxwell的電磁波動理論中,波理論成功地解釋了當時的各種光學現象。
愛因斯坦認為波理論可以解釋光學的「平均」行為,但不能解釋到「個體單次」的吸收及放射行為,所以一樣用熵的角度出發,他提出電磁波本身能量就是離散的,得
\[E=hf\]後來稱這樣的光子能量包(light quanta)為光子。
這裡詳情還是得看愛因斯坦的原paper。
Photoelectric Equation
把光子的概念套回來光電效應。
在光電子出來的時候,代表一個光子把他所有的能量都給了電子,電子就跑出來。
In the process of photoemission a single photon gives up all its energy to a single electron.
所以當光強越強(光子越多)代表能打出來的電子就越多。
而能打出來的最大速率,和光強無關,和頻率有關
\[E=hf=\frac{1}{2}mv_{max}^2+\phi\]能量要大過電子從物體跑出來的最低值work function$(\phi)$才可以開始有動能,而能量又取決於頻率,所以只有特定頻率才能夠打出來。
接者可以算這個最低值
\[hf_0=\phi\\ eV_0=h(f-f_0)\]畫個$V_0$和$f$的$x-y$圖就是一條斜率$h/e$的直線,被後來Millikan的實驗證實!
康普頓效應
到此時,科學家還是有點難接受一個系統的能量是量子化的。1923康普頓實驗用X光去打石墨,以古典來說,這個入射光無論是打到外層近乎自由的價電子,還是內部束縛較強的電子,都只會以相同頻率做振盪,把同頻的電磁波重新輻射出去(re-radiate),所以不管把偵測器放在周圍哪個方向,應該要都只能看到與入射光相同波長的譜線。
但是實際實驗發現,把探測器轉一個角度,看到的譜線有兩條,一條是原入射波長,另一條波長較長。
原波長就是類似於前面對古典理解的,在散射過程中打的是內部束縛較深的電子(就當作是整顆原子),帶進康普頓位移的公式後,質量夠大到看不出波長差。
而偏移的波長則來自於打到較外層的近自由電子,把部分的動量和能量給了電子,自己能量變低所以波長拉長。
整個推算的過程中入射光子的能量就是用$E=hf$去算,再次奠定了電磁波能量本身就量子化的概念。