量子 ─ 簡單筆記

談到量子力學，最重要的起始就是普朗克的黑體輻射和愛因斯坦的光電效應，兩者皆用到了能量是不連續的概念，爾後拉瑟福提出原子核，波爾解釋了氫原子光譜繼續延伸量子的世界。

黑體輻射

我們常識知道靠近一個溫度較高物體，會感覺到熱(heat)，這個放出熱輻射在古典上認為來自於電子加速和分子的震盪。

而這個熱輻射產出的波長分布，只和該物體的溫度有關，和物體材質無關。

對於一個可以完全吸收周遭輻射的理想物體我們稱為黑體(Blackbody)，當其與周遭環境達成熱平衡，吸收的輻射等於放出的輻射，我們可以進一步想像這個黑體開一個小洞(cavity)，吸收外界進來的輻射，並也透過這個洞放出輻射。這個放出輻射的過程，我們便稱為黑體輻射(Blackbody Radiation)。

一樣地，這個輻射產生的波長分布和cavity wall的材質無關，只和該黑體的溫度有關。

這個波長分布圖如下，分別有兩條公式描述實驗結果

• Wien’s Radiation Law: \(\mu_\lambda(T)=A\lambda^{-5}e^{-B/ \lambda T}\)
• Rayleigh-Jeans Law: \(\mu_\lambda(T)=CT\lambda^{-4}\)

Image link(上網找的圖，橫軸是頻率)

可以看見Wien的在短波長(高頻)比較符合，Rayleigh-Jeans則是在長波長(低頻)較符合。

他們怎麼求的？

普朗克 Planck’s Radiation Law

擅長於熱動力學的普朗克繼續研究這個問題，他增加了一個條件去解：

任何系統的熵(Entropy)在達成熱平衡時會是最大值。

而這個黑體輻射的系統(radiating oscillators in the walls of a cavity，就是這些腔體壁上的振子在與外界做能量交換)，在Entropy要最大化的條件下，他解出來描述黑體輻射波長分布實驗結果的公式(Planck’s radiation law)：

\[\mu_\lambda=\frac{8\pi hc \lambda ^{-5}}{e^{hc/ \lambda kT}-1}\]

可以看到在短波長和長波長的近似下，各自會回到Wein’s Law和Rayleigh-Jeans Law，漂亮地解決了這個問題！

但是當時為了計算熵，普朗克想用統計力學的方式去處理這個振子系統的「總能量」能夠有多少種分配方式時，卻發現若將總能量依舊視為連續化，會有無限個分配方式，所以普朗克決定將「所有振子的總能量拆分成一份一份的」：

\[\epsilon=hf, \quad h=6.626\times 10^{-34} J\cdot s\]

才得到上述的公式。

但對於普朗克來說，這只是一種數學上的方法，並沒有真的認為能量必須是這樣離散的。

愛因斯坦 Einstein’s Quantum Hypothesis

1906年，愛因斯坦證明Planck’s radiation law要滿足還有個條件，必須是每一個振子自己的能量(不是前面說的總能量)都只能以$hf$為單位吸收或放出能量，定出離散化的能階

\[E_n=nhf,\quad n=0,1,2,3,\dots\]

能階差取決於頻率，這個我們稱為 Einstein’s Quantum Hypothesis。

這個跟古典的認知也開始不一樣了，古典上我們並沒有對一個振子吸收或放出的能量有任何限制。

在宏觀的世界裡，隨意舉一個綁著彈簧的木塊簡諧震盪來看，頻率很小，能量差相對於總能量非常小，所以我們通常不會感受到能量量子化的狀態，只有到微觀程度的問題時，這個差距才會變得明顯。

隨後到1910年，普朗克也接受了每一個振子本身自己的能量會量子化的想法。

光電效應

1865年Maxwell’s equation理論推得光是電磁波，後也經實驗證實。1902年Lenard實驗，簡單來說就是光打進一個金屬管，裡面的金屬板發射出電子，接收端接收電子，讓整個迴路產生了電流。

若加上足夠的正偏壓後，所有光電子都會被收集，電流達到飽和，不會再變動。

接著把電位反過來，只有有著最大動能的電子才能克服到達接收端，我們可以用以下表示這個stopping potential

\[eV_0=\frac{1}{2}mv_{max}^2\]

然後發現幾個現象

• 在正壓的部分，光強越大，跑出來的光電子數量越多(電流大，與波動符)。
• 認為弱光應該要有「逐漸累積能量」的時間，但實驗顯示延遲不到$3\times 10^{-9}s$，幾乎可以忽略，看起來能不能跑出光電子沒有光強的門檻限制。(與波動不符)
• 在負壓的部分，即便用更大的光強打，都不會影響最大的速度，最大速度只和板子的材質和入射光光頻率有關，跟光強度無關(與波動不符，根據波的理論，只要光強夠強，任何頻率應該都能打出來。)

光子

1905年，愛因斯坦對於之前的黑體輻射有進一步的見解。

前面說到普朗克假設總能量可以被區分一個一個的，但仍然認為電磁波的能量是連續的。而在Maxwell的電磁波動理論中，波理論成功地解釋了當時的各種光學現象。

愛因斯坦認為波理論可以解釋光學的「平均」行為，但不能解釋到「個體單次」的吸收及放射行為，所以一樣用熵的角度出發，他提出電磁波本身能量就是離散的，得

\[E=hf\]

後來稱這樣的光子能量包(light quanta)為光子。

這裡詳情還是得看愛因斯坦的原paper。

Photoelectric Equation

把光子的概念套回來光電效應。

在光電子出來的時候，代表一個光子把他所有的能量都給了電子，電子就跑出來。

In the process of photoemission a single photon gives up all its energy to a single electron.

所以當光強越強(光子越多)代表能打出來的電子就越多。

而能打出來的最大速率，和光強無關，和頻率有關

\[E=hf=\frac{1}{2}mv_{max}^2+\phi\]

能量要大過電子從物體跑出來的最低值work function$(\phi)$才可以開始有動能，而能量又取決於頻率，所以只有特定頻率才能夠打出來。

接者可以算這個最低值

\[hf_0=\phi\\ eV_0=h(f-f_0)\]

畫個$V_0$和$f$的$x-y$圖就是一條斜率$h/e$的直線，被後來Millikan的實驗證實！

康普頓效應

到此時，科學家還是有點難接受一個系統的能量是量子化的。1923康普頓實驗用X光去打石墨，以古典來說，這個入射光無論是打到外層近乎自由的價電子，還是內部束縛較強的電子，都只會以相同頻率做振盪，把同頻的電磁波重新輻射出去(re-radiate)，所以不管把偵測器放在周圍哪個方向，應該要都只能看到與入射光相同波長的譜線。

但是實際實驗發現，把探測器轉一個角度，看到的譜線有兩條，一條是原入射波長，另一條波長較長。

原波長就是類似於前面對古典理解的，在散射過程中打的是內部束縛較深的電子(就當作是整顆原子)，帶進康普頓位移的公式後，質量夠大到看不出波長差。

而偏移的波長則來自於打到較外層的近自由電子，把部分的動量和能量給了電子，自己能量變低所以波長拉長。

整個推算的過程中入射光子的能量就是用$E=hf$去算，再次奠定了電磁波能量本身就量子化的概念。