(0) 熱力 ─ 公式

這節整理用到的熱力學公式，會陸續更新，方便之後查看。

熱力學第一定律

• $Q=\Delta U+W$(作功是理想氣體對外作功)
• 微分形式：$dQ=dU+PdV$

平均動能與溫度 (一個分子)

• 一維：$\langle \Delta u_1 \rangle = \Bigg\langle\frac{1}{2}m_1v_1^2\Bigg\rangle = \frac{1}{2}k T_1$
• 三維：\(\langle u \rangle = \bigg\langle \frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)\bigg\rangle=\frac{3}{2}kT\)

作功

• $W=\int PdV$

比熱

• 定容比熱：\(C_v= \frac{3}{2}R,\quad nC_v\Delta T = \Delta U = -\int P dV\)
• 定壓比熱：\(C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R\)
• 衰減指數：\(\frac{C_p}{C_v}=\frac{5}{3} = \gamma\)

熱平衡公式

• $T_1(t)=T_2-(T_2-T_1(0))e^{-\gamma t}$
• $t_{\text{equilibrim}} = \frac{1}{\gamma}$

等溫膨脹

• $W=NkT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) > 0 (\because V_2 > V_1)$
• $U=N\cdot\langle u \rangle = \frac{3}{2}NkT,\quad\Delta U = \frac{3}{2}Nk\Delta T = 0$
• $Q=\Delta U + W = NkT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
• 波以爾定律：\(PV=\text{const}\)

絕熱膨脹

• $Q=0$
• \(\Delta U = -W < 0\)(膨脹做正功，溫度下降)
• $PV^{\frac{5}{3}}=\text{const}$
• $W = \left(\frac{nR}{\gamma-1}\right)(T_1-T_2) = nCv(T_1-T_2), \quad \Delta U = nC_v (T_2-T_1)$

卡諾引擎

• 最高效率，算吸進來的熱能做多少功：$1-\frac{T_H}{T_L}$

熵

• 定義$dS=\frac{dQ}{T}$
• 可逆process $\oint dS=\oint \frac{dQ}{T}=0$