(3) 變分入門 ─ 為什麼是動能減位能？

前面第二節最後求得的式子代表當一個粒子，從A走到B，在位能不一樣的情況下找到最好的路徑。

若自己隨意調整的話，這個數值都會比真正要走的路徑還大。

但為什麼偏偏是這個動能動能減位能的形式呢？

若仔細看原本的離散公式

\[\frac{m}{2}\frac{(\Delta{\vec{r}_j)^2}}{\Delta{t_j}}-V(\vec{\xi}_j)\Delta{t_j}\]

當走到位能大的時候，速率比較慢，花的時間比較長，所以在位能那項會是減掉大的數值。而動能那項因為時間在分母，所以數值小，因此小減大滿足了能夠最小化的傾向。

但更重要的是，這個形式，不過只是在討論牛頓力學的情況下才會是動能減位能。

我們來看狹義相對論下會怎麼樣。

狹義相對論下的公式

在狹義相對論裡，能量公式是

\[\frac{mc^2}{\sqrt{1-{(\frac{dr}{dt})^2}/{c^2}}}+V(\vec{r})\]

要最小化的物理公式是

\[\int_{0}^{T}\left(-mc^2\sqrt{1-\left(\frac{dr}{dt}\right)^2/{c^2}}-V(\vec{r})\right)\,dt\]

可以看到在狹義相對論裡面，就不是動能減位能的形式了！

再取近似到牛頓力學

來驗證看看，若速度很小恢復到牛頓近似，二項式展開之後同樣可得

\[\int_{0}^{T}-mc^2\,dt+\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2-V\right)\,dt\]

前者為常數項，取極值後會消掉，後者仍然回到動能減位能的形式。

動能減位能非絕對

所以不需要對動能減位能的形式保持絕對的定義，這只是一種形式。當換一種方式討論之後，需要極小化的公式就會截然不同。