(2) 變分入門 ─ 最小化的方式也能用在能量守恆嗎？
前面提到，想要找到最小化的物理量來求得一個等速直線運動自由粒子在兩點之間的最短距離。
現在我們來討論更普遍的問題，因為大自然通常會提供磁場、電場、重力場等變化，所以我們現在引入外力(不侷限在等速直線運動)，一樣希望找出大自然想要極小化(最大利益、最小損失)的物理量，來描述粒子從A走到B，在位能不一樣的情況下最好的路徑。(注意現在先只討論具有位能場的外力，像是靜電場和重力場。)
竟然想要適用於普遍的問題，而所有物理運動都遵循著能量守恆，因此我們重新切入一個角度：
希望找到一個能最小化的物理量來導出「能量守恆」。
*記得前面是找到一個能最小化的物理量，求出「最短距離」。
那我們開始吧！
建立能量守恆的公式
簡單地，我們先回到離散的情況，並且在數學上不再需要假設及保證每一時間段等分，故而動能加上位能：
\[\frac{m}{2}\left(\frac{\Delta{\vec{r}_j}}{\Delta{t_j}}\right)^2+V(\vec{\xi}_j)\approx\frac{m}{2}\left(\frac{\Delta{\vec{r}_{j+1}}}{\Delta{t_{j+1}}}\right)^2+V(\vec{\xi}_{j+1})\\ \vec\xi_i\equiv\text{some representable point lying in the segment }\Delta\vec{r}_i\]一樣\(\Delta\vec{r_i}\)各是一個線段，\(\xi_i\)則是該線段中的任一點，代表取的位能位置。 因為上式是用離散的方式，取得位能位置也會有落差，所以左右兩式是近似，但也可先視作相等。
注意位能的導入非常重要，因為在一個場裡面，通常位能高的地方跑不上去速度變慢，低的地方跑很快速度變快，進而才能把問題擴大到不是只限定在等速運動。
跟前面一樣，從局部來然後限定條件(注意這裡沒有等長和等時，只是說固定)
- \(\Delta\vec{r}_1\)、\(\Delta\vec{r}_{j+1}\) fixed
- \(\Delta{t_j}+\Delta{t_{j+1}}\)= fixed
討論動能
若我們最小化
\[\left(\frac{\Delta{\vec{r}_j^2}}{\Delta{t_j}}\right)+\left(\frac{\Delta{\vec{r}_{j+1}^2}}{\Delta{t_{j+1}}}\right)\]
可得動能守恆
其中 -1 來自於 chain rule(\(\Delta{t_{j+1}}\)是\(\Delta{t_j}\)的函式)
\[\because \Delta{t_{j+1}} = \text{constant} - \Delta{t_j}, \quad \Delta{t_j} : \text{varied}\]加入位能
按照前面討論動能的方式，可得出若要最小化
\[\left(\frac{m}{2}\frac{(\Delta{\vec{r}_j)^2}}{\Delta{t_j}}-V(\vec{\xi}_j)\Delta{t_j}\right) +\left(\frac{m}{2}\frac{(\Delta{\vec{r}_{j+1})^2}}{\Delta{t_{j+1}}}-V(\vec{\xi}_{j+1})\Delta{t_{j+1}}\right)\]可得能量守恆。
統整
現在只討論局部的兩段相加，若取無限多段(\(N\rightarrow\infty\))，我們可以用積分形式
\[\int_{0}^{T} \left(\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2-V(\vec{r})\right)\,dt\] \[=\int_{0}^{T}(KE-PE)\,dt\]即是我們大名鼎鼎，常見用在變分計算當中的「動能減位能」公式了！
這個公式就是，在更普遍的物理問題中，大自然會傾向去「最小化的物理量」來滿足「能量守恆」。