(10) 變分入門 ─ 小結變分的好處

變分入門十篇系列告個段落，我們來做個小結：

我們從三個角度出發，分別是

• 引入外力遵循能量守恆的運動
• 解邊界條件用的近似方法
• 正規的從運動方程推導

都得出大自然會想要最小化的物理量(牛頓)是

\[\delta{\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-V\right)\,dt}=0\]

括號內是動能減位能，定為Lagragian L

\[\Rightarrow \delta{\int_{0}^{T}L(x,\dot x,t)\,dt}=0\]

這裡補充一點，數學上其實是在取極值，並沒有特別說是極小或是極大，但通常碰到的例子是取極小值，可以查看其他的書做進一步的討論。

至此，再順一下思路。

什麼是變分？

變分是在接近真實答案(真實軌跡)下，做一點點的任意變化，變化的值若能與真實的值差異為零，代表不管往左往右往哪裡怎麼變，都不會再改變的話(取極值的概念)，就代表我們找到了一個局部最優的解，是個數學方法。「變分」的「變」就是探索和嘗試，透過微小的改變來尋找最優解的過程。

要找什麼的最優解？

物理應用中，因為我們知道大自然有「最小作用量」，希望用最節省的原則去運動，在牛頓力學上，想要最節省作用量就是「動能減位能」在一段時間內的積分，所以我們可以利用變分的方法，找出最優(最小)的「動能減位能」，進而得到對應符合最小作用量的運動方程。

為什麼要發展變分？

• It gives us a coordinate-independent description.

  動能減位能取極值，可以選擇比較方便的座標系去描述，求得Euler Lagragian Equation之後，就有在那個座標系底下的運動方程式，很方便。

• It provide us with a way of deriving an approximate solution to an otherwise difficult boundary value problem.

  有機會或有信心可以用變分原理的想法弄出近似的解，globally可以滿足並可解特定的邊界條件問題。重點就是選的基底函數和求係數。

• It is pretty. Nature seems to work in an economical way $\Rightarrow$ Minimization of $\int_{}^{}L\,dt$

  因為漂亮，顯示出大自然用很經濟的方式運作(極小化Lagragian的積分)。且Particle Dynamic 有這樣的特性，Electrodynamic Field也有這樣的特性，廣義相對論時空場也可以，可以推廣到全天下所有東西都可以，所以variational principle地位現在是很高且基本的。

• When a system possesses certain continuous symmetry, the formalism allows one to quickly derive a certain conservation law associated with this symmetry.

  容易看出對稱性質，並推得出守恆定律。