(4) 軌道 Bertrand’s Theorem ─ 數學補充和思路總結
數學角度
這裡補充一下，單純討論一個數學問題是要解軌道方程
\[\frac{d^2 u}{d\theta}+u=J(u)\]假設
- 不論有沒有擾動(perturbation)，軌道永遠是封閉的。
- 從 inverse function theorem或是implicit function theorem，被小擾動的新軌道，形狀和幾何性質都一樣是封閉的，如同原本unperturbed軌道。
這就像是要解，已知原本沒有擾動的情況下(已知$f(),x_0,a_0$)
若改變$a_0$，加一點小擾動$(\Delta a)$變成$a_0+\Delta a$，那$x$要怎麼變化才會使得
Inverse Function Theorem (Implicit Function Theorem)
我們可以在限制$f’(x_0)\neq 0$的情況下，找到接近$x_0$的解答$x$，使其滿足$f(x)=a_0+\Delta a$。
\[f(x+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+\cdots=a_0+\Delta a\]$\Delta a$很小，所以高階不去看的話，得近似解
\[\Rightarrow f'(x)\Delta x\approx \Delta a\\ \Rightarrow \Delta x \approx \frac{\Delta a}{f'(x_0)}, \quad f'(x_0)\neq 0\]軌道
回來看軌道和我們的假設，對於一個封閉(週期性)的軌道來說，$u\left(\equiv \frac{1}{r}\right)$”ups and downs”的數量要維持不變。所以假設現在有5次，做任意擾動，也許會是4.9或是5.1，很接近5，但因為軌道要封閉，所以做完擾動，5必須還是5，導致$P,q$要維持一樣。
因此
我們原本擾動的系統A：
\[\frac{d^2 u}{d\theta}+u=J(u)\]有做小擾動的系統B：
\[\frac{d^2\Delta u}{dt^2}+\Delta u=J'(u_0)\Delta u+\frac{J''(u_0)}{2}\Delta u^2+\frac{J'''}{6}\Delta u^3\]更簡易的擾動系統C：
\[\frac{d^2\Delta u}{dt^2}+\Delta u = J'(u_0)\Delta u\]三個系統不算是同樣的系統(作用力不同)，但都會有同樣的$P,q$，使得幾何性質一樣(same ups and downs of $u$)。
而我們想要證明 Betrand’s Theorem 時(all orbits slightly perturbed from a circular orbit are still closed orbits)，從最簡單的系統C開始，然後求出了限制性的Force Law，所以採用系統B來算得更準確，希望可以進一步看$P,q$的數值，最後算出來發現對力的要求只能是$r$或是$\frac{1}{r^2}$的要求，只剩這兩種形式再回去求更原始的系統A，就能求出真正的軌道形狀，並且都是封閉軌道，故而得證 Betrand’s Theorem！
推導思路
最後，我們再整理一下推導的思路，並且看一下我們在其中學到了什麼
Perturbation Linear Stability
我們從非擾動的原始圓形軌道出發，選擇在能量做點小擾動，討論會週期回來的解(為了要封閉軌道)，將擾動後的非線性方程線性化，得到一組經過一段角度後會再回來的關係式。
Regular Pertubation on Non-Linear Equation
為了進一步求關係式的解，需要用高階項去求，這時把有興趣的物理量用 power series 做展開 (regular perturbation theroy)，收集同階項，卻發現出現 secular term， 進一步探討這個問題。
Fourier Series on Non-Linear Equation
若振幅不會很大，留高階的一兩項，換另一種方法 來解這個 weakly non-linear equation 避免前面的問題。
Qualitative Analysis
其實在計算的過程中，我們引入了「週期性」的概念，所以 “up and down” 不是明確計算 (qualitative analysis)，但感覺是對的，Topology 沒有變。所以雖然不是 exact 的解，但從這些角度切入，對於系統的 quantative understanding 也有可以有更深的認識。
Summary
- 起自一個非擾動的系統
- 做擾動
- Regular Pertubation Theory
- 有不想要的 secular term
- 換 Fourier Series
- 學解 weakly non-linear equation
- 計算過程和假設用到 qualitative analysis
得證 Bertrand’s Theorem：如果圓形軌道小擾動之後還是封閉軌道，那受到的向心力，不是牛頓就是虎克。
If all orbits slightly perturbed from a circular orbit are still closed orbits, then the central attractive force field the particle is moving necessarily are Hookean (i.e. $\vec{F} \propto -\vec{r}$) or Newtonian (i.e. $\vec{F} \propto -\frac{1}{r^2}\hat{r}$).