(1) 熱力 ─ 麥克士威─波茲曼分布淺談
來開始熱力的章節。
簡單概述
首先第一章先來看波茲曼分布，描述某一溫度下微觀粒子運動速度的機率分布，公式($m$是粒子質量，$k$是波茲曼常數，$T$是熱力學溫度)
\[P(p_x,p_y,p_z) = \left(\frac{1}{2\pi m kT}\right)^{\frac{3}{2}}exp\left[-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2mkT}\right]\]就是粒子在特定動量下的機率分布。
可以看出幾件事情
- exponential括號裡面的就是能量除以$kT$，代表著溫度其實是能量的一個指標。
- 想像一堆氦氣在跑來跑去的時候，不是大家都一樣快。
- 機率最大時是能量為0的時候，代表大家其實都很懶(都不動)。
還有另外一個表示法，是用速率來看，變成純量，但是各個方向都有(球面)，所以會多加球面的項在裡面
\[P(v) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}4\pi v^2exp\left[-\frac{mv^2}{2kT}\right]\]雖然不動的懶人最容易出現，但只有一種，而稍微有一點能量，但包含各種不同方向，就會比較多種(我們一般常看到的圖是這個，就像wiki的)
這裡也有一個常見的迷思，我們原本其實以為系統平均能量出現的機率應該要是最大的，能量更大或更小的機率都會比較小，可是其實達成熱平衡之後，能量出現0的機率是最大，而我們所謂的系統平均能量都是這個exponetial decay tail的平均值，而不是我們一開始以為的峰值。
波茲曼分布的本質 by 社會實驗
先說答案，這個分布的本質在於：用自由隨機的方式爭取有限的資源會產生的結果，這裡有兩個實驗。
猜拳遊戲
節自課程的內容，遊戲規則是這樣的
- 一開始每個人薪水都是四萬
- 兩人碰到就猜拳
- 贏的加薪一萬，輸的減薪一萬
- 薪水是零又猜輸的話，雙方不加不減
這樣一團人經歷了幾十次之後，會看到類似這樣的波茲曼分布，橫軸是錢，縱軸是人(?)，大部分人都是窮人~~~
代表了即便你我一開始都完全公平平等，沒有受限任何規則下的自由競爭，爭取總體有限的錢，最後的結果就是極少數人很有錢，大多數人都沒什麼錢。
實際收入
節自課程內容和論文(Dragulescu & Yakovenko, 2002)及作者網址
可以看到原本波茲曼的粒子碰撞的能量交換，變成經濟社會裡的薪水交換，能量守恆等價於總金額守恆，還有最後系統會有一個平衡態，換算過來之後，找到的解答就是波茲曼分布。
實際用美國收入來畫圖，也真的就長這樣(窮人長條圖比較矮的原因是政府福利的政策)。 公平競爭下也是正常會有很多貧戶，就是波茲曼分布。
當然這比較是中產階級，就是我們一般領薪者(打工人)在爭取有限的資源下的結果，佼佼者少數(猜拳遊戲連贏)，但是在更高薪的地方，會有不符合波茲曼分布的一群上層階級的富有者，這主要是他們打破了剛剛說的有限資源的限制，用了錢滾錢的方式去創造了他們的財富(詳細可看該作者的論文和介紹)。
小結
這堂課第一次聽是在大學，到現在再聽一次，除了物理知識以外，只有滿滿的初聞不知曲中意，再聽已是曲中人的感慨XD