量子 ─ WKB Approximation
我們現在來用 WKB 近似來解 time-independent SE，算 bound state energies 和 tunneling rate，最後也會提邊界點怎麼計算。
三個問題
以下三個問題是我們接下來會用 WKB 近似來看的問題。
1. $E > V$
位能固定
複習一下，若位能固定不隨空間變化
\[V(x) = \text{contant}\]則波函數
\[\psi(x)=Ae^{\pm ikx},\quad k\equiv\sqrt{2m(E-V)/\hbar}\]- $+$：particle traveling to the right
- $-$：particle traveling to the left
- general solution is linear combination
對於這樣的波函數，會有固定的波長$(\lambda=2\pi/k)$和振幅$A$。
位能緩慢變化
若現在假設位能隨著空間有點變化，但相較於原本的波長來說非常緩慢，所以可以視波函數仍然是維持振盪形式(oscillatory)，只是波長和振福也跟著$x$有些許變化。
(rapid oscillations, modulated by gradual variation in amplitude and wavelength)
2. $E < V$
位能固定
一樣若位能固定，波函數解
\[\psi(x)=Ae^{\pm \kappa x}, \quad \kappa\equiv\sqrt{2m(V-E)/\hbar}\]位能緩慢變化
一樣相對於$1/\kappa$來說變化很慢的話，解答還是維持exponential，只是$\kappa$和振幅有小變化。
3. $E \approx V$
在古典上，我們稱這個狀況是 turning point，這裡 $\lambda$ 和 $1/\kappa$會趨近無限大，剛剛前面說的”位能相對這兩個變數緩慢變化”就不再成立。
我們一樣會考慮這個情況。
Classical Region $(E>V)$
SE出發
\[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi\]重寫成
\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{p^2}{h^2}\psi\\ p(x) \equiv \sqrt{2m[E - V(x)]}\]可以看到在一般古典的例子裡，會假設$E>V(x)$，所以$p$會是實數，物理來說就是對應到圖中的Classical Region，粒子會被”confined”在這個$x$區間。
因此我們可以設解為
\[\psi(x) = A(x)e^{i\phi(x)}\\ (A(x), \phi(x)\text{ are real})\]代進SE，得兩個公式
\[\begin{cases} A'' = A\left[(\phi')^2 - \frac{p^2}{h^2}\right]\\ \left(A^2\phi'\right)' = 0\Rightarrow A=\frac{C}{\sqrt{|\phi'|}} \end{cases}\] \[(C\text{ is real constant})\]WKB 近似
如同前言的假設，振幅$A$相較之下變化的非常緩慢，所以\(A''\)忽略，得到
\[0=A\left[(\phi')^2 - \frac{p^2}{h^2}\right]\\ \Rightarrow \phi(x)=\pm\frac{1}{\hbar}\int p(x)dx\]解答
統整一下
\[\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{h}\int p(x)dx}\\ |\psi(x)|^2 \approx \frac{|C|^2}{p(x)}\]觀察一下滿清楚的，當動量(classical)越大的時候，粒子就不會待在同一個地方太久，所以在該地方發現該粒子的機率就更小。
最後解就是Linear combination。
應用
- Infinite square well with a bumpy bottom：解出邊界條件下的量子化能階。
- Infinite sqare well with flat bottom $V(x)=0$：用WKB解出來會和正解一樣，因為我們忽略的\(A''\)本來就該是0。
Tunneling $(E<V)$
跟前面的解一樣，只是$p$變成虛數
\[\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{|p(x)|}}e^{\pm\frac{1}{h}\int |p(x)|dx}\\ (p(x)\text{ is imaginary})\]
舉例來說一個粒子去撞位能比自己能量高的牆，如上圖，$A$進去、$B$反彈、$F$穿透，這時我們可以拆開三個區段來看解
解答
Left of the barrier $(x<0)$
對於牆左側，$E>V$，簡單的解
\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\\ k\equiv\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\]Right of the barrier $(x>a)$
只剩下穿透的
\[\psi(x) = Fe^{ikx}\]這裡定穿隧的機率
\[T=\frac{|F|^2}{|A|^2}\]In the tunneling region $(0\leq x\leq a)$
按照前面的WKB近似，解答是線性組合，所以
\[\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{|p(x)|}}e^{\frac{1}{h}\int_0^x |p(x')|dx'}+\frac{D}{\sqrt{|p(x)|}}e^{-\frac{1}{h}\int_0^x |p(x')|dx'}\]這裡自然地，如果牆很高或很寬，那要穿隧的機率一定會變低，所以指數上升的$C$會隨著牆高寬而變小。
所以經過牆之後，振福被壓縮取決於$D$的exponential decay
\[\frac{|F|}{|A|}\sim e^{-\frac{1}{h}\int_0^a |p(x')|dx'}\]得到最後穿隧機率
\[T\sim e^{-2\gamma},\quad \gamma\equiv\frac{1}{\hbar}\int_0^a |p(x)| dx\]應用(alpha decay)
那現在來看常見的應用：Gamow’s theory of alpha decay。
Alpha decay 是原子核釋放出一個 alpha 粒子(氦)，由2個質子和2個中子組成。