Cjue25

Good things take time

前面在解 Linear Train 的時候，是用 Translation Symmetry 來解。

可以看到其實要解normal modes的系統通常都滿複雜，而且也有很多顆粒子，如果利用對稱性質就會好解很多。

所以現在我們繼續來看另外一個例子，用的是 Reflection Symmetry。

Reflection Symmetry Operator

假設現在有四顆粒子，定義為

\[\psi= \begin{pmatrix} \delta R_2\\\delta R_1\\\delta R_{-1}\\\delta R_{-2} \end{pmatrix}\]

定 reflection symmetry operator

\[\hat{P}(\psi)\equiv \begin{pmatrix} \delta R_{-2}\\\delta R_{-1}\\\delta R_{1}\\\delta R_{2} \end{pmatrix}\]

Eigenvalue

因為

\[\hat{P}^2=\hat{\mathbb{1}}\]

所以eigenvalue of $\hat{P} = \pm 1$

Eigenvector

對應有兩個eigenvector

  • eigenvalue = 1 & eigenvetor $\psi_+$
\[\psi_+ \propto \begin{pmatrix} \delta R_{2}\\\delta R_{1}\\\delta R_{1}\\\delta R_{2} \end{pmatrix}\]
  • eigenvalue = -1 & eigenvetor $\psi_-$
\[\psi_- \propto \begin{pmatrix} \delta R_{2}\\\delta R_{1}\\-\delta R_{1}\\-\delta R_{2} \end{pmatrix}\]

EOM

現在雖然有四顆，但我們看右邊兩顆就好，左邊兩顆是一樣的道理

Particle 1

\[m\frac{d^2 \delta R_1}{dt^2} = -C(\delta R_1 - \delta R_2)-C(\delta R_1-\delta R_{-1})\]

Particle 2

\[m\frac{d^2 \delta R_2}{dt^2} = -C(\delta R_2 - \delta R_1)\]

Solution

$\psi_+$

對於$\psi_+$來說，因為symmetry

\[\delta R_{-1} = \delta R_{1}\]

所以 EOM

\[\begin{cases} -m\omega^2 \delta R_1 = -C(\delta R_1 - \delta R_2)\\ -m\omega^2 \delta R_2 = -C(\delta R_2 - \delta R_1) \end{cases}\]

用 matrix 來解

\[\begin{pmatrix} -C + m\omega^2 & C \\ C & -C + m\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta R_2 \\ \delta R_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow m^2\omega^4-2mC\omega^2=0\]

得到兩個解答

\[\omega^2=\frac{2mC\pm\sqrt{4m^2C^2}}{2m^2}\\ \omega^2 = 0, \frac{2C}{m}\]

代回去求normal mode

  • $\omega^2 = 0$
\[-C(\delta R_1 - \delta R_2) = 0\\ \delta R_1 = \delta R_2\\ \psi_{+}^{1}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\]
  • $\omega^2 = \frac{2C}{m}$
\[-C(\delta R_1 - \delta R_2) = -2C\delta R_1\\ \delta R_1 = -\delta R_2\\ \psi_{+}^{2}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix}\]

可以看到 $\psi_{+}^{2}$的解，代表 particle 1 只有受到右邊的影響，左邊沒有(因為一起動)。

$\psi_-$

對於$\psi_-$來說，因為symmetry

\[\delta R_{-1} = - \delta R_{1}\]

所以 EOM

\[\begin{cases} m\frac{d^2 \delta R_1}{dt^2} = -C(\delta R_1 - \delta R_2)-C(2\delta R_1)=-3C\delta R_1+C\delta R_2\\ m\frac{d^2 \delta R_2}{dt^2} = -C(\delta R_2 - \delta R_1) \end{cases}\]

用 matrix 來解

\[\begin{pmatrix} m\omega^2 - C & C \\ C & m\omega^2 - 3C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta R_2 \\ \delta R_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow \omega^4-4\frac{C}{m}\omega^2+3\frac{C^2}{m^2}-\frac{C^2}{m^2}=0\\ \Rightarrow \omega^4-4\frac{C}{m}\omega^2+2\frac{C^2}{m^2}=0\]

得到兩個解答

\[\omega^2=\frac{4\frac{C}{m}\pm\sqrt{16\frac{C^2}{m^2}-8\frac{C^2}{m^2}}}{2}\]

如果看 particle 1，可以看到會受到兩邊的力。(這裡就不繼續展開了)

重新檢視 Operator

我們前面定義的 reflection operator 是

\[\hat{P}\begin{pmatrix} \delta R_{2}\\\delta R_{1}\\\delta R_{-1}\\\delta R_{-2} \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} \delta R_{-2}\\\delta R_{-1}\\\delta R_{1}\\\delta R_{2} \end{pmatrix}\]

但其實更準確一點的表示應該是

\[\hat{Q}\begin{pmatrix} \delta R_{2}\\\delta R_{1}\\\delta R_{-1}\\\delta R_{-2} \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} -\delta R_{-2}\\-\delta R_{-1}\\-\delta R_{1}\\-\delta R_{2} \end{pmatrix}\]

$\hat{Q}$表示的比較直覺，因為我們對於 reflection 就是鏡像對應差個負號，跟$\hat{P}$的差別是

\[\hat{P} = -\hat{Q}\]

不過取平方之後都一樣，所以最後的答案不會變。


但是！！

畢竟看起來是不同的數學表示，那我們做的$\hat{P}$到底是什麼呢？


我們做的$\hat{P}$其實並不是空間上displacement做反轉，而是在做relabeling particle！

所以$\hat{P}$和$\hat{Q}$是在做一樣的事情，就是 relabel 之後，axis再轉一遍而已。

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