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Good things take time

現在來看一個例子，兩顆粒子串接，中間接一個比較weak的彈簧。

這個例子可以用很常見的實驗來做，擺兩張椅子，上面放一根棍子，棍子中間掛兩個一樣的小球，手動讓A小球開始晃，晃著晃著A會越來越慢，然後B會開始晃，過一段時間B會變慢，A再開始晃，稱這個為 Sympathetic Vibration。背後的原因當然是因為中間的棍子再被晃動的時候會有一些力矩，帶動另外一顆再晃，然後維持能量守恆情況下的結果。

EOM & Normal Modes

一樣來寫運動方程式吧！

兩顆粒子

\[\begin{cases} m\frac{d^2 x_1}{dt^2}=-Kx_1-C(x_1-x_2)\\ m\frac{d^2 x_2}{dt^2}=-Kx_2-C(x_2-x_1) \end{cases}\\ (C<<K)\]

矩陣表示

\[\begin{pmatrix} m\omega^2-(K+C) & C\\ C&m\omega^2-(K+C) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow m\omega^2-(K+C)=\pm C\]

求得兩個頻率解和對應的normal modes $(\xi, \eta)$

\[\begin{cases} \omega_1=\sqrt{\frac{K}{m}},\quad\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}\propto\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\ \omega_2=\sqrt{\frac{K+2C}{m}},\quad\begin{pmatrix}\xi\\\eta\end{pmatrix}\propto\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \end{cases}\]

Time Evolution

那當然我們不是只是要算normal modes而已，noraml modes是限定特定初始狀態符合之後才會以這個方式運動，而真正我們想求的是time evolution，任意拉動造成的general情況都可以寫成normal modes的線性組合

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (B_1 \cos \omega_1 t + B_2 \sin \omega_1 t) + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} (D_1 \cos \omega_2 t + D_2 \sin \omega_2 t)\\ (B_1, B_2, D_1, D_2: \text{determined by the initial conditions})\]

而初始條件簡單起見，我們可以設左邊第一顆拉一個距離，沒有速度，第二顆則什麼都沒有，就像最前面說的 sympathetic vibration椅子的例子

\[x_1(0) = A \quad \dot{x}_1(0) = 0\\ x_2(0) = 0 \quad \dot{x}_2(0) = 0\]

然後代進剛剛的線性組合公式

\[\begin{cases} A = B_1 + D_1 \\ 0 = \omega_1 B_2 + \omega_2 D_2 \\ 0 = B_1 - D_1 \\ 0 = \omega_1 B_2 - \omega_2 D_2 \end{cases}\]

得到係數

\[B_1 = D_1 = \frac{A}{2}\\ B_2 = D_2 = 0\]

再代回去

\[\Rightarrow \begin{cases} x_1(t) = \frac{A}{2} (\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) \\ x_2(t) = \frac{A}{2} (\cos \omega_1 t - \cos \omega_2 t) \end{cases}\]

現在有兩個$\omega$，也不知道傾向誰比較好，所以我們重新定義兩個變數

\[\overline{\omega} \equiv \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \\ \Delta \omega = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}\] \[\begin{align} \Rightarrow\omega_1 &= \overline{\omega} - \Delta \omega \\ \omega_2 &= \overline{\omega} + \Delta \omega \end{align}\]

可以看到$\Delta\omega$和兩者的頻率差有關，但因為我們最前面假設過$C\ll K$，是weak coupling，所以兩者個頻率不會差太多，故而有

\[\Delta \omega \ll \overline{\omega} \\ (\because C \ll K)\]

然後繼續用新的變數代回去

\[\begin{align} \Rightarrow x_1(t) =& \frac{A}{2} (\cos (\overline{\omega} - \Delta \omega)t + \cos (\overline{\omega} + \Delta \omega)t)\\ =& \frac{A}{2} (\cos \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t + \sin \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t\\ &+ \cos \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t - \sin \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t)\\ =& (A \cos \Delta \omega t) \cos \overline{\omega} t \end{align}\]

一樣求$x_2$

\[x_2(t) = \frac{A}{2} (\cos (\overline{\omega} - \Delta \omega)t - \cos (\overline{\omega} + \Delta \omega)t) = (A \sin \Delta \omega t) \sin \overline{\omega} t\]

公式解釋

可以看到

\[\begin{cases} x_1(t) = (A \cos \Delta \omega t) \cos \overline{\omega} t\\ x_2(t) = (A \sin \Delta \omega t) \sin \overline{\omega} t \end{cases}\]

分析一下，因為$\Delta \omega \ll \overline{\omega}$，對於$x_1$來說，$(A \cos \Delta \omega t)$就是一個緩慢變化的振幅(slowly varying amplitude)，$\cos \overline{\omega} t$就是快速的震動(fast vibration)。

所以系統一開始$t=0$的時候，振福為1，第一顆粒子快速振動，接著振福會慢慢變小，直到振到讓$\Delta \omega t = \pi / 2$的時候，振福為0，幾乎靜止了，隨後會再振起來。

而對於$x_2$也是一樣的，$t=0$，$(A \sin \Delta \omega t)$為0，所以一開始不會振，但隨著時間會開始振起來，直到$\Delta \omega t = \pi / 2$的時候，振福為1，是最大，並且用跟第一顆一開始的vibration頻率一樣，接著時間繼續走，又會慢慢靜止。

從這樣的公式就可以很清楚的看到sympathetic vibration的運動，起始時1動2不動，慢慢地1不動2動，最後再回來1動2不動！

When $t$ is near $t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\Delta \omega}$ ($\Delta \omega$ “small” in some sense), the 1st oscillator is not vibrating significantly, and the energy is mostly transferred to oscillator 2. But if we wait even longer, up to $t = \frac{\pi}{\Delta \omega}$, then the energy is once again transformed back to oscillator 1.

General Case

這樣看會覺得前面的例子初始條件太刻意了，難道要這樣才會有sympathetic vibration？

所以我們現在把初始條件改一下，兩個粒子在一開始的時候都有任意的小擺動，看看 general 會怎麼樣。

\[x_2(0) = \text{small} \quad \dot{x}_2(0) = \text{small}\]

代回去

\[\begin{cases} B_1 - D_1 = \text{small}\\ \omega_1 B_2 - \omega_2 D_2 = \text{small} \end{cases}\]

得係數

\[\begin{cases} B_1\approx D_1\\ B_2\approx D_2 \end{cases}\]

(那當然對應的$x_1$的初始條件位置可能沒有拉得那麼滿，然後也有一點點速度。)

展開$x_2$

\[\begin{aligned} x_2(t) =&\quad(B_1 \cos \omega_1 t + B_2 \sin \omega_1 t) - (D_1 \cos \omega_2 t + D_2 \sin \omega_2 t)\\ =&\quad(B_1 \cos \omega_1 t - D_1 \cos \omega_2 t) + (B_2 \sin \omega_1 t - D_2 \sin \omega_2 t)\\ \\ =&\quad B_1 (\cos \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t + \sin \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t ) \\ &- D_1 (\cos \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t - \sin \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t ) \\ &+ B_2 (\cos \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t - \sin \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t )\\ &- D_2 (\cos \Delta \omega t \sin \overline{\omega} t + \sin \Delta \omega t \cos \overline{\omega} t ) \\ \\ =&\quad [(B_1 - D_1) \cos \Delta \omega t] \cos \overline{\omega} t \quad\quad\quad-(1)\\ &+ [(B_1 + D_1) \sin \Delta \omega t] \sin \overline{\omega} t \quad\quad\quad-(2)\\ &+ [(B_2 - D_2) \cos \Delta \omega t] \sin \overline{\omega} t \quad\quad\quad-(3)\\ &- [(B_2 + D_2) \sin \Delta \omega t] \cos \overline{\omega} t \quad\quad\quad-(4) \end{aligned}\]

可以看到(1)和(3)都很小所以先不管。

(2)和(4)則一樣很明顯如果在一開始$\Delta \omega t \approx 0$，這兩項都會很小，然後時間繼續演化直到$\Delta \omega t\approx\frac{\pi}{2}$，那就會擺動變最大($x_1$就是相反)。

故而即便是General的初始條件，這個Sympathetic Vibration的現象還是在的！

物理解釋

到這裡我們進一步用物理來解釋這個現象，細想的話可以列出兩個奇怪的點

  • 當第一顆粒子給能量給第二顆的時候，自己越振越小，那為什麼不是振到兩者能量一樣，達到平衡就好？就很像自己要沒錢的一窮二白了，還要繼續慷慨地給別人錢？
  • 那給就給了，為什麼第二顆拿到全部能量之後，還會reverse回來給第一顆？然後一樣給到自己沒錢為止？

要解釋這個問題，我們先來看另外一個簡單的例子。

假設一個振子(oscillator)被外力用共振的頻率驅動

\[\frac{d^2 x}{dt^2}+x=D\cos t \quad\quad D>0\]

這就很像Sympathetic Vibration中，因為中間有weak coupling，所以很像其中一顆用同樣頻率施力給另外一顆的想法。

然後設初始條件

\[\begin{cases} x(0)=0\\ \dot{x}(0)=-\mu_0,\quad\mu_0 > 0 \end{cases}\]

簡單地解答，inhomogeneous + homogeneous的解

\[x(t)=\frac{D}{2}t \sin t+\alpha\cos t+\beta \sin t\]

(可以看到第一項inhomogeneous是secular term，類似於軌道pertubation theory提過的。)

繼續求

\[x(0)=0\Rightarrow \alpha = 0\\ \dot x(0)=-\mu_0\Rightarrow \beta=-\mu_0\\ \Rightarrow x(t)=\left(\frac{Dt}{2}-\mu_0\right) \sin t\]

因為是weak coupling，所以可假設D很小，那麼括號振福這項$\left(\frac{Dt}{2}-\mu_0\right)$就一樣是緩慢隨時間變動的數值(slowly time-varying amplitude)。


接著討論兩個時間段的解

  • $0\leq t\leq \frac{2\mu_0}{D}$： \(\bigg| \frac{Dt}{2}-\mu_0 \bigg|\) 會緩慢地減少，所以振福越來越小。
  • $t > \frac{2\mu_0}{D}$： \(\bigg| \frac{Dt}{2}-\mu_0 \bigg|\) 會 無止盡地增加，振福越來越大！

我們可以畫個圖看一下

  1. 一開始速度向左($-\mu_0$)，力向右($D>0)$，driving force 做負功(negative work)。
  2. 因為做負功，往左的速度當然就會變小。
  3. 時間越長越小。
  4. 經過臨界點，受driving force的影響，開始速度向右，並且從此無止盡。

一開始可能會覺得奇怪，一個系統跟他共振的話不是就是我一直pump能量給他讓他越來越大嗎？，但1~3的步驟告訴我們能量是越來越小的，這就像是幫人家推鞦韆，如果你要讓他停下來，他盪回來向你的時候，你會再給他推一點點(你給的就是他的自然頻率)，他的速度就會自然慢下來了。所以共振是會讓系統的能量減小的！但當然你不能繼續，不然就會到第4步，他又會獲得能量越來越快。

Driving a system at the resonant frequency can decrease the energy of the system! But one should not keep doing it indefinitely。

現在回來Sympathetic Vibration，我們類比一下(第一顆叫P1，第二顆叫P2)，這個粒子就是P1，然後driving force是P2給的(振得很快能量很大)，所以跟P1共振的時候，會抽出P1的能量(1~3步)，直到P1損失到0之後，就會開始從P2獲得能量(第4步)，然後P2給的driving force當然不像這個簡單的例子保持constant一直給，所以P2的能量會一直縮小，直到損失到0之後，又會反過來從P1獲取能量。

簡單一點就是

  • 2跟1共振。
  • 以為1會獲得能量，但因為方向相反，所以1反而會減少能量。
  • 1減到0，開始從2獲取能量。
  • 1開始震動，變成1跟2共振。
  • 2減少能量到0，開始從1獲取能量。
  • 2跟1共振。
  • 如此反覆變成 Sympathetic Vibration。

所以結合以上簡單的例子，我們來回答最一開始的問題，其實答案就是因為要Keeping the correct phase！

這個phase就是out of phase，因為兩者方向不同，就會一直保持著這個相位，不斷互相奪取又獲取能量，

最後補一張圖畫出$x(t)=\left(\frac{Dt}{2}-\mu_0\right) \sin t$，清楚看到反轉點之後顛倒爆噴的現象。

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