(4) 熱力 ─ 比熱
接著來介紹比熱(Heat Capacity)，通常分成定容和定壓。
- 定容比熱定義：一莫耳的氣體，在固定體積(定容)的情況下，上升1度需要的熱量。
- 定壓比熱定義：一莫耳的氣體，在固定壓力的情況下，上升1度需要的熱量。
那接下來我們分別來計算。
定容比熱
定
\[C_v\equiv\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_v\]根據熱力學第一定律
\[Q=\Delta U + W\]轉成微分形式
\[dQ=dU+PdV\]代入定容比熱公式，因為體積不變(沒作功)，所以
\[C_v=\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_v=\frac{1}{n}\left(\frac{dU}{dT}\right)_v\]等價於看內能改變。
上一章節算過
\[U=\frac{3}{2}kT\]換成莫耳數
\[U=\frac{3}{2}nRT \Rightarrow \frac{dU}{dT} =\frac{3}{2}nR\]所以
\[C_v= \frac{3}{2}R\]只是個常數，所以這裡重點在於，不論是對哪一種理想氣體，定容比熱都是一樣的！要把它們在定容的情況下加熱一度所需要用到的熱量都是一樣的！(實驗也得證)。
定壓比熱
定
\[C_p\equiv\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_p\]一樣用熱力學的微分形式
\[C_p = \frac{1}{n}\left(\frac{dU}{dT}\right)_p+\frac{P}{n}\left(\frac{dV}{dT}\right)_p\]等號右邊第一項等價於定容比熱，所以
\[C_p = C_v+\frac{P}{n}\left(\frac{dV}{dT}\right)_p\]而
\[PV=nRT\\ V=\frac{nR}{P}T\\ \frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}\]代回去
\[C_p = C_v + \frac{P}{n}\frac{nR}{P} = \frac{3}{2}R+R = \frac{5}{2}R\]比較
最後我們整理知道定容比熱和定壓比熱關係是
\[C_p = C_v + R\]代表同樣上升一度，定壓需要用到的熱量比定容要多，而這個想一下也覺得挺合理，畢竟定壓吸收的熱有一部分都拿去作功了，所以要維持同樣的內能上升(達到的溫度差)就需要更多的熱。
因此
\[C_p > C_v\]也是一般材料的通用性質。
並且現實來說，理論上容易計算是$C_v$，實驗上容易計算是$C_p$，畢竟做實驗加熱膨脹很常見，要再額外花功夫壓回定容不好做。
比值
另我們也定
\[\frac{C_p}{C_v}=\frac{5}{3} = \gamma\]就是我們熱平衡的章節在計算exponential decay時帶的衰減指數。