(4) 熱力 ─ 比熱

接著來介紹比熱(Heat Capacity)，通常分成定容和定壓。

• 定容比熱定義：一莫耳的氣體，在固定體積(定容)的情況下，上升1度需要的熱量。
• 定壓比熱定義：一莫耳的氣體，在固定壓力的情況下，上升1度需要的熱量。

那接下來我們分別來計算。

定容比熱

定

\[C_v\equiv\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_v\]

根據熱力學第一定律

\[Q=\Delta U + W\]

轉成微分形式

\[dQ=dU+PdV\]

代入定容比熱公式，因為體積不變(沒作功)，所以

\[C_v=\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_v=\frac{1}{n}\left(\frac{dU}{dT}\right)_v\]

等價於看內能改變。

上一章節算過

\[U=\frac{3}{2}kT\]

換成莫耳數

\[U=\frac{3}{2}nRT \Rightarrow \frac{dU}{dT} =\frac{3}{2}nR\]

所以

\[C_v= \frac{3}{2}R\]

只是個常數，所以這裡重點在於，不論是對哪一種理想氣體，定容比熱都是一樣的！要把它們在定容的情況下加熱一度所需要用到的熱量都是一樣的！(實驗也得證)。

定壓比熱

定

\[C_p\equiv\frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_p\]

一樣用熱力學的微分形式

\[C_p = \frac{1}{n}\left(\frac{dU}{dT}\right)_p+\frac{P}{n}\left(\frac{dV}{dT}\right)_p\]

等號右邊第一項等價於定容比熱，所以

\[C_p = C_v+\frac{P}{n}\left(\frac{dV}{dT}\right)_p\]

而

\[PV=nRT\\ V=\frac{nR}{P}T\\ \frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}\]

代回去

\[C_p = C_v + \frac{P}{n}\frac{nR}{P} = \frac{3}{2}R+R = \frac{5}{2}R\]

比較

最後我們整理知道定容比熱和定壓比熱關係是

\[C_p = C_v + R\]

代表同樣上升一度，定壓需要用到的熱量比定容要多，而這個想一下也覺得挺合理，畢竟定壓吸收的熱有一部分都拿去作功了，所以要維持同樣的內能上升(達到的溫度差)就需要更多的熱。

因此

\[C_p > C_v\]

也是一般材料的通用性質。

並且現實來說，理論上容易計算是$C_v$，實驗上容易計算是$C_p$，畢竟做實驗加熱膨脹很常見，要再額外花功夫壓回定容不好做。

比值

另我們也定

\[\frac{C_p}{C_v}=\frac{5}{3} = \gamma\]

就是我們熱平衡的章節在計算exponential decay時帶的衰減指數。