(5) 變分入門 ─ 近似求解也用最小化
上一節介紹數學技巧，現在我們來正式解邊界問題。
一樣，假設解可拆成兩項，分為「等速直線的線性項」和「與真實差的修正項」：
\[\begin{align*} \vec{r}(t)&\equiv \vec{r}_{l}(t)+\vec{R}(t)\\ &\equiv (\vec{r}_{0}+\frac{\vec{r}_{f}-\vec{r}_{0}}{T}t) + \vec{R}(t) \end{align*}\]定
\[\vec{r}_{0} \equiv \vec{r}(t=0), \quad \vec{r}_{f} \equiv \vec{r}(t=T)\]並滿足邊界條件
\[\vec{R}(t=0) = \vec{R}(t=T)= \vec{0}\]將修正項用基底函數展開
\[\vec{R}(t)=\sum_{j=1}^{\infty}C_{j}\vec{\phi}_{j}(t)\]實作上只取有限項
\[\vec{R}_{N}(t)=\sum_{j=1}^{N}C_{j}\vec{\phi}_{j}(t)\]並預期有限項\(\vec{R}_{N}(t)\)能非常接近真實的解\(\vec{R}(t)\)。
基底選擇
以下我們簡單起見先處理一維，所以不寫向量了。而基底選擇傅立葉級數為基底，並確保基底能滿足邊界條件
\[\phi_{j}=\sin(2j\pi\frac{t}{T})\] \[\phi_{j}(t=0) = \phi_{j}(t=T) = 0\]有限項的解
現在解為有限項
\[r_N(t)\equiv r_l(t)+R_N(t)\]代入運動方程
\[-m\frac{d^2r_N}{dt^2} -\frac{\partial V(r_N)}{\partial r} \neq 0\]因為是有限項，一定不會真正滿足真實軌跡的運動方程。
但我們會希望用近似的方式來趨近真正的解答。
\[-m\frac{d^2r_N}{dt^2} -\frac{\partial V(r_N)}{\partial r} \approx 0\]解法
如前一節的作法，為了讓上式等於零，我們要取得某組係數\(C_j\)來滿足
\[\int_{0}^{T}\phi_{j}(t)\left(-m\frac{dr_N^2}{dt^2}-\frac{\partial V(\partial r_N)}{r_N}\right)\,dt = 0\] \[j=1,2,\cdots,N\]意思是將運動方程式投影到\(\phi_j\)的數值會得0(內積)，因此N個方程式有N個未知的\(C_j\)可以解，代回去可以得\(R(t)\)和最後的\(r_N(t)\)。
注意的是若將\(r_N(t)\)再代回去原本的運動方程，通常任意時刻都還不會是0，但是透過這個方法，整體平均而言，就還是會等於0，並且N取越大，就會越接近於0。
與變分的關係
那看起來都知道解法了，也沒看出跟變分有啥關係？
讓我們回來看公式
\[r_N(t)\equiv r_l(t)+\sum_{j=1}^{N}C_{j}\phi_{j}(t)\] \[\phi_{j}=\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\] \[\int_{0}^{T}\phi_{j}(t)\left(-m\frac{dr_N^2}{dt^2}-\frac{\partial V(\partial r_N)}{r_N}\right)\,dt = 0\] \[\Rightarrow\int_{0}^{T}\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\left(-m\frac{dr_N^2}{dt^2}-\frac{\partial V(\partial r_N)}{r_N}\right)\,dt = 0\]第一項：
\[\int_{0}^{T}\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\left(-m\frac{d^2 r_N}{d t^2}\right)\,dt\]分部積分
\[=-m\int_{0}^{T} \left[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial r_N}{\partial C_j} \frac{d r_N}{d t}\right) -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\right) \frac{d r_N}{dt}\right]\,dt\] \[=-m \frac{\partial r_N}{\partial C_j}\frac{d r_N}{d t}\bigg|_{t=0}^{t=T} + m \int_{0}^{T}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\right)\frac{d r_N}{d t}\,dt\]因為邊界條件，基底在t=T和t=0的時候等於0，所以只剩下後面那項
\[= m \int_{0}^{T}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\right)\frac{d r_N}{d t}\,dt\] \[=m\int_{0}^{T}\frac{\partial}{\partial C_j}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)\frac{d r_N}{d t}\,dt\] \[=\frac{\partial}{\partial C_j}m\int_{0}^{T}\frac{1}{2}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)^2\,dt\]第二項：
\[\int_{0}^{T}\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\left(-\frac{\partial V(r_N)}{\partial r_N}\right)\,dt\]用chain rule
\[V\left(r_N\right) = V\left(r_N\left(C_j's\right)\right)\] \[=\int_{0}^{T}\left(-\frac{\partial V\left(\partial r_N\right)}{C_j}\right)\,dt\] \[=-\frac{\partial}{\partial C_j}\int_{0}^{T}V\left(r_N\right)\,dt\]整合
\[\int_{0}^{T}\frac{\partial r_N}{\partial C_j}\left(-m\frac{dr_N^2}{dt^2}-\frac{\partial V(\partial r_N)}{r_N}\right)\,dt = 0\] \[=\frac{\partial}{\partial C_j}m\int_{0}^{T}\frac{1}{2}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)^2\,dt-\frac{\partial}{\partial C_j}\int_{0}^{T}V\left(r_N\right)\,dt\] \[=\frac{\partial}{\partial C_j}\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)^2-V\left(r_N\right)\right)\,dt=0\]
這不就是對積分項取極值嗎！(一個函數取極值，代表對該函數的N個參數取極值都是等於零。)
而最後整合的這個函式，括號裡面是動能減位能，完全符合我們在第二節提到的，就是要對這個取極值，來得到能量守恆。
小結
所以在求邊界問題的過程中，我們將解答分成線性項和修正項的有限函式
\[r_N(t)\equiv r_l(t)+\sum_{j=1}^{N}C_{j}\phi_{j}(t)\]並希望能夠盡可能(近似)地滿足運動方程
\[-m\frac{d^2r_N}{dt^2} -\frac{\partial V(r_N)}{\partial r} \approx 0\]以求得趨近真實的軌跡。
為了滿足上式，在數學上我們可以利用基底的性質，求N個
\[\int_{0}^{T}\phi_{j}(t)\left(-m\frac{dr_N^2}{dt^2}-\frac{\partial V(\partial r_N)}{r_N}\right)\,dt = 0\]目的要找一組對的\(C_j’s\)，因為若\(C_j’s\)亂取，則\(r_N(t)\)會是錯誤的形式，那這個基底積分完就不會是0。
當找到對的\(C_j’s\)，那上式就可以轉換成是對以下積分求極值
\[\frac{\partial}{\partial C_j}\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)^2-V\left(r_N\right)\right)\,dt=0\]若N趨近無窮大，\(r_\infty(t)\)會越接近準確的真正軌跡，所以要求得真正的軌跡，其實就是要求
\[\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{d r}{d t}\right)^2-V\left(r\right)\right)\,dt\]的極值。
完全符合我們第二節說到的，這個動能減位能的形式，就是大自然要最小化的物理量以達到能量守恆。