(6) 變分入門 ─ 近似方法求Simple Harmonic Oscillator(例一)

SHO的Equation of Motion(EOM)

\[\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega_0^2x\]

物理直覺

假設我們不知道嚴格精確的解答(exact solution)，但是訴諸物理，知道這個是一種回覆力，並且和距離成正比的運動。

越拉越長就會停住，然後彈回去，所以直觀猜想x(t)會做週期運動，和週期T有關，加上我們事先知道數學上任何一個解都可以寫成傅立葉級數，所以在傅立葉分析的基礎上，設

\[x(t) \approx A\sin\frac{2\pi t}{T}\]

這裡撇除其他傅立葉項，因為完整的展開應該是要

\[x(t) = \sum_{j}^{} A_j\sin\frac{2\pi jt}{T}\]

但求T和所有的係數是很難的事情，所以我們先只留最簡單的第一項(optimal value for A and T)。

近似方法求解

若把這個近似的x(t)代進EOM，絕對不會相等，所以我們用前面的技巧，將基底直接和EOM內積，希望能夠得到0，來找到最佳係數A和週期T：

\[\int_0^T \left(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x\right)\left(\sin \frac{2\pi t}{T}\right)\,dt=0\] \[\int_0^T \left(-\frac{d^2(A\sin\frac{2\pi t}{T})}{dt^2}-\omega_0^2(A\sin\frac{2\pi t}{T})\right)\sin\frac{2\pi t}{T}\, dt = 0\] \[\Rightarrow\int_0^T \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \sin^2 \frac{2\pi t}{T}\,dt - \int_{0}^{T}\omega_0^2 \sin^2 \frac{2\pi t}{T} \,dt = 0\] \[\Rightarrow \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \omega_0^2\] \[T = \frac{2\pi}{\omega_0}\]

求得在近似結果下最佳的週期T(運氣好剛好也是exact solution)，雖然沒有關於A的資訊，但也符合過去所學，週期和振福無關。