(7) 變分入門 ─ 近似方法求Weakly Nonlinear Oscillator(例二)
EOM
\[\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega_0^2x - \epsilon x^3, \quad \epsilon: \text{small}\]物理直覺
看起來若\(\epsilon>0\)，回復力越強，所以跟例一比起來，週期應該會比較小，而且因為這裡是距離的三次方，所以可能也會和振幅，並且有週期。因此我們可以和例一想法一樣，用傅立葉分析，設(一樣先只留第一項)：
\[x(t) \approx A\sin\frac{2\pi t}{T}\]近似方法求解
若把這個近似的x(t)代進EOM，絕對不會相等，所以我們用前面的技巧，將基底直接和EOM內積，希望能夠得到0，來找到最佳係數A和週期T：
\[\int_0^T \left(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x + \epsilon x^3\right)\left(\sin \frac{2\pi t}{T}\right)\,dt=0\] \[\int_0^T \left(-\frac{d^2(A\sin\frac{2\pi t}{T})}{dt^2}-\omega_0^2\left(A\sin\frac{2\pi t}{T}\right)-\epsilon A^3 \sin^3\frac{2\pi t}{T} \right)\sin\frac{2\pi t}{T}\, dt = 0\] \[\Rightarrow A\left(\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 - \omega_0^2\right)\int_0^T \sin^2 \frac{2\pi t}{T}\,dt - \epsilon A^3 \int_{0}^{T} \sin^4 \frac{2\pi t}{T} \,dt = 0\] \[\Rightarrow A\left(\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 - \omega_0^2\right)\left(\frac{T}{2}\right) - \epsilon A^3 \int_{0}^{T} \sin^4 \frac{2\pi t}{T} \,dt = 0\]來單獨算一下第二項
\[\begin{align*} I &=\int_{0}^{T} \sin^4 \frac{2\pi t}{T} \,dt\\ &=-\frac{T}{2\pi}\int_{0}^{T} \sin^3\frac{2\pi t}{T} \,d\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\\ &=\frac{T}{2\pi} \int_{0}^{T}\cos\frac{2\pi t}{T}\cdot 3(\sin^2\frac{2\pi t}{T})\cos(\frac{2\pi t}{T})\frac{2\pi}{T}\,dt\\ &=3\int_{0}^{T}\cos^2\frac{2\pi t}{T}\sin^2\frac{2\pi t}{T}\,dt\\ &=3\int_{0}^{T}\left(1-\sin^2\frac{2\pi t}{T}\right)\sin^2\frac{2\pi t}{T}\,dt\\ &=\frac{3T}{2}-3I \end{align*}\] \[\Rightarrow I=\frac{3}{8}T\]整合
\[A\left(\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 - \omega_0^2\right)\left(\frac{T}{2}\right) - \epsilon A^3\frac{3}{8}T \,dt = 0\] \[\Rightarrow \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 - \omega_0^2 - \epsilon \frac{3}{4}A^2 = 0\]我們知道
\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]所以
\[\omega = \sqrt{\omega_{0}^2+\frac{3}{4}\epsilon A^2}\]因為\(\epsilon\)很小，可以二項式展開
\[\omega \approx \omega_{0}\left(1+\frac{3}{8}\frac{\epsilon A^2}{\omega_{0}^2}\right)\]數學上看出振幅和週期有關，而且當\(\epsilon>0\)且拉得越遠(A越大且二次方)，回復力強拉回來，也會讓頻率更大(週期變小)，若\(\epsilon<0\)且拉得越遠，回復力越小，頻率變小(週期變大)。
注意這裡的假設前提是A沒有很大，因為如果振幅很大(沒那麼虎克)，那一開始就不會只假設\(x(t) \approx A\sin\frac{2\pi t}{T}\)，會需要再加其他項進來修正。但記得每多加一項(e.g., \(\sin\frac{4\pi t}{T}\))，那也要再多一條式子，使投影在這一項積分為0，以得到更精確的解。
另外我們在選擇的基底要先在物理上有預期的結果，知道取的基底函數比較接近要的答案，解的時候只需要取少數幾項就會和真實答案相差不遠。