(16) 變分 Hamiltonian Formalism and Lagrangian
前面說明的Lagragian的感覺都已經包含了變分和最小運作量的原理，現在為什麼還需要有Hamiltonian Formulation呢？
我們拋開其他，單純從數學的角度出發來看。
數學上我們永遠都可以把一個n階的ODE轉成一階ODE，會需要付出的代價就是需要處理隨時間變化的向量(原本只要研究一個實數)。
舉例解
\[\begin{gather*} \frac{d^2 x}{dt^2}+\sin^2{x}\left(\diff{x}{t}\right)^2+(t+3)x+5=0 \end{gather*}\]若定
\[\vv{r}\equiv \begin{pmatrix} x\\ \diff{x}{t} \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} r_1\\ r_2 \end{pmatrix}\]則可簡化
\[\begin{align*} \Rightarrow\diff{\vv{r}}{t} =\begin{pmatrix} \diff{x}{t}\\ \frac{d^2 x}{dt^2} \end{pmatrix} &\equiv \begin{pmatrix} r_2\\ -\sin^2x\left(\diff{x}{t}\right)^2-(t+3)x-5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} r_2\\ -\sin^2r_1{r_2}^2-(t+3)r_1-5 \end{pmatrix}\\ &\equiv\vv{F}(\vv{r},t) \end{align*}\]就能簡化方程繼續解。
簡單地數值解法
\[\left\{ \begin{array}{ll} \vv{r}(\Delta t)=\vv{r}(0)+\vv{F}(\vv{r}(0),0)\Delta t\\ \vv{r}(2\Delta t)=\vv{r}(\Delta t)+\vv{F}(\vv{r}(\Delta t),\Delta t)\Delta t\\ \vdots \end{array} \right.\]若有給初始條件
\[t=0, \vv{r}(t=0)\equiv\text{given}=\vv{r}(0)\]就能解出來。
甚至我們可以把t也當作一個變數
\[\vv{R}\equiv\begin{pmatrix} \vv{r}\\ t \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix} \vv{R}_1\\ \vv{R}_2 \end{pmatrix}\]要算的問題就變成是
\[\diff{\vv{R}}{\tau}=\begin{pmatrix} \diff{\vv{R}_1}{\tau}\\ \diff{\vv{R}_2}{\tau} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \diff{\vv{R}_1}{\tau}\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vv{F}(\vv{R}_1,\vv{R}_2)\\ 1 \end{pmatrix}\equiv\vv{G}(\vv{R})\]就是一階微分的向量方程式。
這樣的精神就是當初Hamiltonian Formulation的出發點，因為
- 牛頓$F=ma$
- Lagragian $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q} $
都是二階，但我們想要簡化成一階來解。
那要怎麼做呢？
Let’s go！
Lagrangian to Hamiltonian
很簡單，就是從二階的Lagrangian開始。
按照前言的邏輯，想轉成一階微分，所以定
\[\vv{r}\equiv\begin{pmatrix} q\\ \dot{q} \end{pmatrix}\] \[\diff{\vv{r}}{t}=\cdots\equiv\vv{F}(\vv{r},t)\]然後繼續解，但也有另外一種做法，現在定
\[p\equiv\pdv{L(q,\dot{q})}{\dot{q}}\]使得$p$為$pair(q,p)$的第二個變數，讓$\dot{q}=\dot{q}(q,p)$
注意這裡並不是說直接把$\dot{q}$換成$p$的意思 $$ L(q,\dot{q})=q\sin\dot{q}\\ L(q,p)\neq q\sin{p} $$ 而是將$\dot{q}$以$q$和$p$來表示 $$ L(q,p)\equiv L(q,\dot{q}(q,p)) $$
所以
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q}\]變為
\[\diff{p}{t}=\pdv{L(q,\dot{q})}{q}\bigg|_\dot{q}\]但是因為等式右手邊仍是$q,\dot{q}$的函式，需要再將$\dot{q}$用$q,p$替代太麻煩了！所以不如一開始轉換的時候，就希望能得到
\[\pdv{}{q}\bigg|_{p \text{ fixed}}\]所以從我們想要得到的出發(只和$q,p$有關係)
\[\pdv{L(q,p)}{q}\bigg|_{p\text{ fixed}}{}\]因為現在$p$固定的話，可以視為常數，那關係式$\dot{q}$是$q$的函式，所以$\dot{q}$的變化量也要考慮進去
\[\pdv{L(q,p)}{q}\bigg|_{p\text{ fixed}}{}=\pdv{L(q,\dot{q})}{q}\pdv{q}{q}\bigg|_{\dot{q}}{}+\pdv{L}{\dot{q}}\pdv{\dot{q}(q,p)}{q}\bigg|_{p}{}\]整合
\[\begin{align*} \diff{p}{t}&=\pdv{L(q,\dot{q})}{q}\\ &=\pdv{L(q,p)}{q}\bigg|_{p}{}-\pdv{L}{\dot{q}(q,p)}\pdv{\dot{q}}{q}\bigg|_{p}{}\\ &=\pdv{L}{q}\bigg|_{p}{}-p\pdv{\dot{q}}{q}\bigg|_{p}{}\\ &=\pdv{}{q}(L-p\dot{q})\bigg|_{p}{}\\ &=-\pdv{}{q}(p\dot{q}-L)\\ &\equiv-\pdv{H}{q}\bigg|_{p}{} \end{align*}\]其中定的
\[p\dot{q}(q,p)-L\equiv H(q,p)\]就是Hamiltonian！
這是對$p$而言，我們也另外算$q$
\[\pdv{H}{p}=\pdv{}{p}(p\dot{q}-L)=\dot{q}+p\pdv{\dot{q}}{p}-\pdv{L}{p}\bigg|_{q}{}\]又
\[\pdv{L}{p}\bigg|_{q}{}=\pdv{L(q,\dot{q}(q,p))}{p}\bigg|_{q}{}=\pdv{L(q,\dot{q})}{\dot{q}}\bigg|_{q}{}\pdv{\dot{q}(q,p)}{p}\bigg|_{q}{}=p\pdv{\dot{q}}{p}\]所以
\[\pdv{H}{p}\bigg|_{q}{}=\dot{q}=\diff{q}{t}\]Hamiltonian’s Equation of Motion
整理一下，下面式子第一個我們稱為$p$的EOM，第二個稱為$q$的EOM，可以看到
- $p$和$q$是對稱的，只是差一個負號
- $p$和$q$兩者完全分別獨立出來
不過在常見的推導中，會從Lagrangian出發(given $L(q,\dot{q}$))，以得到Hamiltonian，但這只是歷史因素，並不是必然需要這樣的先後順序。
反過來地，我們也可以從Hamiltonian出發得到Lagriangian，兩者方法是等價的，實際上要使用Lagrangian還是Hamltonian，完全是使用情境決定。
以下，來推導從Hamiltonian到Lagrangian的過程。
Hamiltonian to Lagrangian
已知L和H的關係是
\[\left\{ \begin{array}{ll} p\dot{q}-L=H\\ p=\pdv{L(q,q')}{q'} \end{array} \right.\]把
\[\dot{q}=\pdv{H(q,p)}{p}\]代進去得
\[L=p\pdv{H(q,p)}{p}-H(q,p)\]若給定$H(q,p)$，加上我們知道$p$的關係($p=p(q,\dot{q})$)，那就可以回推到
\[L(q,\dot{q})\]可以得到$H$和$L$是可以視為同等地位的。