(22) 變分 Adiabatic Invariant ─ 古典和量子的結合(能量量子化)
前言
上一章節提到
\[J=\oint{pdq}\\ J(t=\mathcal{O}(\frac{1}{\epsilon}))-J(t=0)=\mathcal{O}(\epsilon)\]如果套用到簡單的單擺SHO例子，則可得到
\[J_{\text{final}}=\frac{E_{\text{final}}}{\nu_{\text{final}}}\approx\frac{E_{\text{initial}}}{\nu_{\text{initial}}}=J_{\text{initial}}\]$E / \nu$的意義
回顧 Adiabatic Invariant意義
當系統隨著時間緩慢變化，參數隨時間改變，$H$也會跟著變。但在每個特定的時間下，我們可以紀錄一組參數，其對應的$H$是closed constant energy curve，然後在這個curve上做積分，計算的公式是$\oint{pdq}$，我們將其定義為$J$。
這個$J$代表某個action，$J$基本上隨著時間演化會有變動(fluctuation)，是$\mathcal{O}(\epsilon)$，理論上經過很長時間$\mathcal{O}(\frac{1}{\epsilon})$，會是$\mathcal{O}(1)$的變化。
但從上一章節證明出來，其實這個action的變化，經過one period時間後，fluctuation會變得很小，非常接近原始數值，跟原始數值幾乎是一樣的，變化降為$\mathcal{O}(\epsilon^2)$，所以經過很長的時間$\mathcal{O}({\frac{1}{\epsilon}})$，卻僅有$\mathcal{O}(\epsilon)$的變化。
但是得到這個結果又怎麼樣呢？
與量子的結合(能量量子化)
其實這個概念在19世紀就已經有了，主要是來自old quantum theory的需求，當時普朗克提出了SHO的能量量子化$E_n=nh\nu (\Rightarrow E_n/\nu=nh)$。
對應到古典力學的問題，Lorentz在想那如果是一個單擺，慢慢拉，能量會變，頻率也會變，這時候的比值也會一樣嗎？(yes)
也就是說，若現在拿任意的oscillator
普朗克
\[\frac{E_0}{\nu_0}=h \qquad\text{for a given }\nu_0\]
Adiabatic Invariant證明
經過一段很長的時間後，改變頻率從$\nu_0$到$\nu’$，這時因為只差$\mathcal{O}(\epsilon)$，可以視為
\[\frac{E_0}{\nu_0}=\frac{E'}{\nu'}\]等號左邊來自量子，而等號(之前的證明)卻是來自古典呀！
所以
\[E'=h\nu'\]代表著一個具有自然頻率$\nu’$的oscillator也有量子化的能量！且這個$h$跟最一開始的普朗克$E_0=h\nu_0$是一樣的！
這裡展現了量子和古典的完美結合，也讓Planck’s hypothesis is self-consisting。
你可以想像，如果今天我們證明出來的$J=\frac{E}{\nu^2}$，那就沒辦法對應起來了。
舉例
看SHO的一開始，Planck Hypothesis says
\[\oint{pdq}\stackrel{\text{(classical)}}{=}\frac{E}{\nu}\stackrel{\text{(planck)}}{=} nh\\ \text{for }H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega_0}^2q^2}{2},\qquad\omega\equiv2\pi\nu\]古典上我們可以緩慢改變$H$的形式，從原本是SHO變成不像SHO，像如果定義最後的位能場
\[V=\frac{q^4}{(1+q^2)}\]那
\[H(q,p,\tau)=\frac{p^2}{2m}+(1-\tau)\frac{m\omega^2}{2}q^2+\tau\cdot\frac{q^4}{1+q^2}\\ \tau=\epsilon{t},\qquad0\leq{t}\leq\frac{1}{\epsilon}\]可以看到一開始$t=0$的時候還是一般的SHO，但時間久了之後，第三項作為主要，就不是SHO了！
但是！
從之前古典理論來說，$J$會是維持固定值，且一開始是普朗克
\[\oint{pdq}\bigg|_{\text{final}}^{}\stackrel{\text{(classical)}}{=}\oint{pdq}\bigg|_{\text{initial}}^{}\stackrel{\text{(planck)}}{=}nh=\frac{E}{\nu}\]等價於一開始的情況。所以我們可以更通用的寫，若
\[H=\frac{q^2}{2m}+V(q)=E\]得到
\[p=\sqrt{2m\left(E-V(q)\right)}\]所以
\[\oint pdq=\oint\sqrt{2m\left(E_n-V(q)\right)}dq\\ E_n=\text{nth quantized energy}\]可以看到這裡的$V(q)$已經是任意的形式，代表量子化的能量可以解任意的系統，你可以解$\frac{1}{r^2}$的能階，也可以解相對論的能階，都可以！
這就是Quantization Rule of the old quantum theory。
當然它也可以拓展到更高維的系統，只是會需要有特定的限制條件。
小結
我們用古典變分的方法，找到了某個物理量，即便$H$逐漸變化，但這個物理量改變量因為太小，比較初始和結果可以幾乎視為相同，稱為Adiabatic Invariant。
而這個物理量最後可以導出等價於$E/ \nu$，和普朗克量子的概念和在一起，所以在古典的世界裡，有自然頻率的振子也有對應的量子化能量$E=h\nu$。
並且，這個量子化的能量，進一步地可以解任意的系統，不單單只是SHO而已。