(2) 軌道 Bertrand’s Theorem ─ Nonlinear Oscillator (Higher Order)
基本討論
設
\[\frac{d^2x}{dt^2} + x = \epsilon x^2 + \delta x^3\]x很小。
一階
若只想care displacement，則其他高階項忽略
\[\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0\]就是我們一般常見 SHO 啦~
二階具有非對稱性
\[\ddot{x} = -x + \epsilon x^2\]$\epsilon > 0$：恢復力在x軸兩邊不對等, 週期不確定
\[\ddot{x} = -x+x^2\] \[\left\{ \begin{array}{ll} x>0, \quad-2+2^2=2\\ x<0, \quad2+2^2=6 \end{array} \right.\]$\epsilon < 0$：恢復力在x軸兩邊不對等, 週期不確定
\[\ddot{x} = -x-x^2\] \[\left\{ \begin{array}{ll} x>0, \quad-2-2^2=-6\\ x<0, \quad2-2^2=-2 \end{array} \right.\]進一步舉例
\[\ddot{x} + x = 0.01x^2\\ \ddot{x}' + x' = -0.01x'^2\]其實兩者等價，只是方向不同，因為第二個可以看成
\[x'=-\xi\\ -\ddot{\xi}-\xi=-0.01\xi^2\\ \Rightarrow \ddot{\xi}+\xi=0.01\xi^2\]$\dot{x} + x = -0.01x^2 \Rightarrow \ddot{x} = -\dot{x}$ $-\frac{1}{2} = -0.01\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = 0.01\frac{1}{2}$
結論
- $T$沒有正比於$\epsilon$，因為兩邊的非對稱性，$T$的變化量$\epsilon$無法完全確定。
- $\epsilon$ 線性一階提供資訊量不足，因為是正是負對方程都沒差，只是方向反過來的座標系，所以若要更清楚知道對週期的影響，必須看到$\epsilon$的二階！(注意這裡是係數的二階)
三階可決定週期長短
\[\ddot{x} = -x + \delta x^3\]$\delta > 0$：恢復力同等變弱，週期變長
\[\ddot{x} = -x + x^3\] \[\left\{ \begin{array}{ll} x>0, \quad-2+2^3=6\\ x<0, \quad2-2^3=-6 \\ \end{array} \right.\]$\delta < 0$：恢復力同等變強，週期變短
\[\ddot{x} = -x - x^3\] \[\left\{ \begin{array}{ll} x>0, \quad-2-2^3=-10\\ x<0, \quad2+2^3=10 \end{array} \right.\]結論：第三階的係數可以決定週期大小
\[\Rightarrow T_{period}(\delta) \propto \delta\]實際計算
我們先看三階再看二階。
三階
先來看
\[\frac{d^2x}{dt^2}+x=\delta x^3\]正規 Perturbation Theory 把 $x(t)$ 用 $\delta$ power series 展開，$x_j(t)$為之後要求的項
\[x = x_0 + \delta x_1 + \delta^2 x_2 + \cdots\]代入第一式收集 $\delta$ 同次方項
Zero Order $\mathcal{O}(\delta^0)$：
\[\frac{d^2x_0}{dt^2} + x_0 = 0 \\ \Rightarrow x_0 = Ae^{it} + A^*e^{-it}\]First order $\mathcal{O}(\delta^1)$：
\[\begin{align} \frac{d^2x_1}{dt^2} + x_1 &= x_0^3 \\ &= (Ae^{it} + A^*e^{-it})^3 \\ &= A^3e^{3it} + 3A^2A^*e^{it} + 3A^{*2}Ae^{-it} + A^{*3}e^{-3it}\\ \Rightarrow x_1 &= \text{ inhomogenious solu } \\ &= \text{ (homogeneous solu) + (particular solu) }\\ &= (Be^{it} + B^*e^{-it}) + \cdots \end{align}\]要求 particular solu, 可以回來看這個 driven oscillator 的項
\[A^3e^{3it} + 3A^2A^*e^{it} + 3A^{*2}Ae^{-it} + A^{*3}e^{-3it}\]- 第1、4項：是 3 倍 natural frequency of unperturb oscillator, sinusoidal in time
- $A^3e^{3it} \Rightarrow x_1=\frac{A^3 e^{3it}}{-3^2+1}$
- $A^{*3}e^{-3it} \Rightarrow x_1=\frac{A^{ *3} e^{-3it}}{-3^2+1}$
- 第2、3項：是本身系統的 natural frequency，所以會讓$x_1$的解造成共振，並且有線性項t，隨著時間振幅增加
(e.g.$ (D^2+1)x=e^{it}, x=Cte^{it}$)
- $x_1$ 共振函數形式 $(t\times\text{ something sinusoidal in }t e^{\pm it})$，有secular term $t\cdot e^{\pm it}$
算到現在為止，有點bad news。
因為現在算的oscillator只是weakly nonlinear，我們仍然希望解答是periodic in time，而且這個週期會和振幅有關。
但現在因為有共振那項(secular term)，隨著時間逐漸放大(額外note一下平常的SHO period不會和能量(振福)有關，nonlinear才會有)。
所以要先探討一下，我們出發點是正規的 perturbation theory，從哪裡出錯了才求出了這個共振 secular 項。
為什麼會有secular項
在前面推導的時候，我們其實因為覺得被擾動後的新頻率會和振幅有關，所以假設求的$\sin{\omega t}$ 頻率為
\[\omega \Doteq 1+C\cdot\delta\]多出一項$C\delta$，代表擾動的強度。
所以代進去用 power series 展開後
\[\sin{\omega t}\Doteq\sin((1+C\delta)t)=\sin{t}+C\delta t\cos{t}+\cdots\]可以看到右邊第二項的secular term就跑出來了！所以原因就是因為我們用正規的perturbation theory時，用$\delta$的power series展開。
重新用Fourier Series解
現在改用Fourier Series來解，但是這次對於$\omega$沒有限制，不一定非要開始加上第一階的修正等等，單純就是一個未知數。
因此定(1設為自然頻率)
\[x=A\sin{\omega t}+(\text{ higher harmonics of }\omega)\\ \omega = 1+(\text{ some small correction})\]所以
\[\frac{d^2x}{dt^2} + x = \delta x^3\] \[\begin{align} \Rightarrow (-\omega^2+1) A \sin \omega t + \cdots &= \delta \cdot A^3 \sin^3 \omega t + \cdots\\ &=\delta \cdot A^3 \left(\frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}\right)^3 + \cdots\\ &= \delta \cdot A^3\frac{-3e^{i\omega t} + 3e^{-i\omega t}}{-8i} + \cdots(\text{ higher harmonics})\\ &=\delta \cdot A^3\frac{3}{8} \cdot 2 \sin \omega t + \cdots \end{align}\]忽略高階項
\[(-\omega^2+1)A = \delta A^3 \frac{3}{4}\\ \omega^2 \Doteq 1 - \frac{3}{4} \delta A^2\\ \omega \Doteq \sqrt{1 - \frac{3}{4} \delta A^2} \approx 1 - \frac{3}{8} \delta A^2\\ (\text{correct only up to the 1st nontrivial order })\]可以看到符合我們前面說的頻率和振幅的關係，頻率$\omega$取決於振幅$A$的大小，如果$\delta > 0$，$A \uparrow \omega \downarrow$。(比較：變分第七節，結果是一樣的！)
小結就是若知道這個系統是週期性的(periodic in time)，就不希望把解答$x$直接用power series對擾動$\delta$做展開，因為一定會有secular term，而不是periodic，長時間演化就不會是好的近似。
因此當有週期性的時候，我們就直接改用Fourier series繼續展開，改求完全未知的$\omega$。
二階
同理，二階我們要求的是
\[\frac{d^2x}{dt^2} + x = \epsilon x^2\]Regular Perturbation
設
\[x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots\]代進去
\[\begin{align} \left(\frac{d^2}{dt^2} + 1\right)(x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots) &= \epsilon(x_0 + \epsilon x_1 + \cdots)^2\\ &= \epsilon(x_0^2 + 2x_0\epsilon x_1 + \cdots) \end{align}\]收集次方項
Zero Order $\mathcal{O}(\epsilon^0)$：
\[\frac{d^2x_0}{dt^2} + x_0 = 0\\ \Rightarrow x_0 = A\sin t\\ (\text{ after initial condition chosen the origin of time})\]First order $\mathcal{O}(\epsilon^1)$：
\[\begin{align} \frac{d^2x_1}{dt^2} + x_1 &= x_0^2\\ &= A^2\sin^2t \\ &= A^2\frac{1-\cos 2t}{2} \\ &= \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{2}\cos 2t \end{align}\]Particular solution：
\[x_1 = \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{2}\frac{\cos(2t)}{-2^2+1}\]Second order $\mathcal{O}(\epsilon^2)$：
\[\begin{align} \frac{d^2x_2}{dt^2} + x_2 &= 2x_0x_1\\ &= 2\color{red}{(A\sin t)}\left(\frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{2}\frac{\cos(2t)}{-3}\right) \end{align}\]注意紅色部分又出現和自然頻率一樣的項，共振項又出現了，不是periodic in time！
改用Fourier Series
設
\[x = C_0+A\sin \omega t + C_2\cos(2\omega t) +\text{ other harmonics}\]其中$C_0$和$C_2$從前面$\mathcal{O}(\epsilon^1)$的解可以知道就是$\mathcal{O}(\epsilon^1)$。($=\epsilon(\frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{2}\cos 2t)$)
所以代回去
LHS：
\[C_0+(-\omega^2+1)A\sin\omega t + C_2(-(2\omega)^2+1)\cos(2\omega t) +\text{ other harmonics}\\\]RHS：
\[\begin{align} =& \epsilon(C_0+A\sin\omega t + C_2\cos(2\omega t) + \cdots)^2\\ =& \epsilon(\mathcal{O}(\epsilon)+ \mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(\epsilon)+\cdots)^2 \end{align}\]因為$C_0$和$C_2$本身就是$\mathcal{O}(\epsilon)$，所以平方後更高次就先忽略了，因此整理得
\[\begin{align} =& 2\epsilon C_0A\sin\omega t + \epsilon A^2 \sin^2\omega t + 2\epsilon A C_2\sin\omega t\cos2\omega t + \cdots\\ =& 2\epsilon C_0A\sin\omega t + \epsilon A^2\frac{1-\cos 2\omega t}{2} + 2\epsilon A C_2\left(\frac{-\sin\omega t}{2}\right) + \text{ other harmonics} \end{align}\]等號左右對應
\[\left\{ \begin{array}{ll} \text{constant: }C_0 = \frac{\epsilon A^2}{2} \\ \sin{\omega t}: (-\omega^2+1) = 2\epsilon C_0 - 2\epsilon C_2 \frac{1}{2} = \epsilon(2C_0 - C_2) \\ \cos{2\omega t}: C_2(-4\omega^2+1) = -\frac{\epsilon A^2}{2} \end{array} \right.\\\]令$\omega = 1$為自然頻率
\[(C_2 = \mathcal{O}(\epsilon), \omega = \mathcal{O}(1)\Rightarrow \mathcal{O}(\epsilon)\mathcal{O}(1)=\mathcal{O}(\epsilon))\]求得係數
\[\begin{align} C_0 &\approx \frac{\epsilon A^2}{2}\\ C_2 &\approx \frac{\epsilon A^2}{-2}\frac{1}{-4+1} = \frac{\epsilon A^2}{6} \end{align}\]求得頻率
\[-\omega^2+1 \approx \epsilon\left(2\cdot\frac{\epsilon A^2}{2}\cdot\frac{\epsilon A^2}{6}\right)=\frac{5}{6}\epsilon^2A^2\\ \Rightarrow \omega \approx \sqrt{1-\frac{5}{6}\epsilon^2A^2} \approx 1-\frac{5}{12}\epsilon^2A^2\]注意這裡證出在二階中，的確需要取到$\mathcal{O}(\epsilon^2)$才會得到跟頻率(週期)之間的關係，如同本節最前面說的。
小結
在解高階的SHO時(其實高階就也不能稱為SHO了)，因為有perturbation，我們採用兩種方法計算：
- Regular Perturbation
- Fourier Series
第一點：是直接用power series展開，求出來會有共振項的secular term，不符合物理上我們預期會有週期性的現象。
第二點：直接假設$x$是$B\sin{\omega t}$，但$\omega$有帶一點點的correction(但不是直接展開$1+C\delta$)，目的就是求這個未知的$\omega$。
所以變成是在求
\[x=B\sin{\omega t}+\text{ higher harmonics of }\omega\\ \omega = 1 + ?\]然後可以得出來
\[\ddot{x} = -x + \delta x^3, \quad \omega\approx 1 - \frac{3}{8} \delta A^2\\ \ddot{x} = -x + \epsilon x^2, \quad \omega\approx 1-\frac{5}{12}\epsilon^2A^2\]二階補充
\[\ddot{x}+x=\epsilon x^2\]若我們只看到$\mathcal{O}(\epsilon)$，那麼這兩種方法
- Regular Perturbation：
- Fourier Series：
可以看到兩個幾乎是一樣的，只是差在$t\to\omega t$，但這樣簡單的對應只有在非常低階的時候，兩者才能這樣相像。