(18) 變分 Hamiltonian 守恆量
對時間微分 - $H$ 守恆
$L$和$H$當然一定可以和時間有關，只是到現在我們都沒有算進去。
現在我們就來討論$\pdv{}{t}$這項。
\[\begin{align*} \diff{H(q(t),p(t),t)}{t}&=\pdv{H}{q}\diff{q}{t}+\pdv{H}{p}\diff{p}{t}+\pdv{H}{t}\\ &=\pdv{H}{q}\pdv{H}{p}+\pdv{H}{p}\left(-\pdv{H}{q}\right)+\pdv{H}{t}\\ &=\pdv{H}{t} \end{align*}\]可以看到若$H$和時間無關
\[\pdv{H}{t}=0\]那麼$H$就是一個conserved quantity。
對空間微分 - $p$ 守恆
上一節我們知道
\[\left\{ \begin{array}{ll} \diff{q}{t}=\pdv{H}{p}\\ \diff{p}{t}=-\pdv{H}{q} \end{array} \right.\]可以看到若$H$和空間無關，對特定座標$q_j$
\[\pdv{H}{q_j}=0\]則
\[\diff{p_j}{t}=-\pdv{H}{q_j}=0\]意味著$p_j$是conserved quantity。
舉例
假設一個二維的
\[L(q,\dot{q})={\frac{m\dot{x}^2}{2}}+{\frac{m\dot{y}^2}{2}}-mgy\\ p_x\equiv\pdv{L}{\dot{x}}=m\dot{x}\\ p_y\equiv\pdv{L}{\dot{y}}=m\dot{y}\]而
\[\begin{align*} H&=p\dot{q}-L\\ &=p_x\dot{x}+p_y\dot{y}-L\\ &=p_x\frac{p_x}{m}+p_y\frac{p_y}{m}-\left({\frac{m}{2}\left(\frac{p_x}{m}\right)^2}+{\frac{m}{2}\left(\frac{p_y}{m}\right)^2}-mgy\right)\\ &=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+mgy \end{align*}\]若對特定座標$x$微分
\[\pdv{H}{x}=0\Rightarrow p_x=\text{const of motion}\]因為為零，所以對應的就是$x$方向的動量守恆。
和$L$整合
在第十二節中我們也有提到守恆量，現在來整理一下
| Tables | L | H |
|---|---|---|
| EOM | $\frac{dp}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q}$ $\left(p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)$ |
$\diff{q}{t}=\pdv{H}{p}$ $\diff{p}{t}=-\pdv{H}{q}$ |
| 空間對應守恆量 $\frac{\partial }{\partial{q}} =0$ |
$p$ | $p$ |
| 時間對應守恆量 $\frac{\partial }{\partial{t}} =0$ |
$p\dot{q}-L$ | $H$ |
可以看到完全是一樣的！