(30) 變分 ─ 總結

至此跟變分相關的筆記整理結束，學習內容可分成六大主題

1. Introduction
2. Symmetry, Conservation and Constraints
3. Hamiltonian
4. Adabatic Invariant
5. Canonical Transformation
6. Hamiltonian-Jacobi Theory

我們再來小小總結一下，之後有其他學習會再擴充。

Introduction (1-10)

我們知道大自然有讓東西極小或極大化的特性，所以希望找到一個大自然會傾向最小化的物理量，利用此數學描述自然現象。

第一節：找到最小化以下公式的物理量，能求出一個自由粒子等速直線運動的最短距離。

\[\|\Delta\vec{r}_1\|^2+\|\Delta\vec{r}_2\|^2+...+\|\Delta\vec{r}_N\|^2\\ \vdots\\ \int_{0}^{T} \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\,dt\]

第二節：找到最小化以下物理量，能求出引入外力(位能場)運動下的能量守恆。

\[\int_{0}^{T} \left(\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)^2-V(\vec{r})\right)\,dt=\int_{0}^{T}(KE-PE)\,dt\]

第五節：在難解的邊界問題上，找到若能最小化以下括號中的物理量，就可求出在盡可能滿足運動方程的情況下的真實軌跡(找到對的係數描述軌跡修正項)。

\[\frac{\partial}{\partial C_j}\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{d r_N}{d t}\right)^2-V\left(r_N\right)\right)\,dt=0\]

第八節：從正規的運動方程推導，正式引入變分的概念，假設有一個變分軌跡，與真實軌跡相差$\delta x$，但邊界條件一樣。我們預期若是真實軌跡，則這條軌跡的任何微小變分都不會改變作用量（在一階近似下），進一步找到一樣的結果，等價在計算最小化「動能減位能」(牛頓力學)的物理量。

(取$\delta$後等於零的意義在於，一個函數值，若往左走往右走，變化一下下，得出來的函數數值不變，那就代表是在這附近取極值，取最小化。)

反向推回來，可得Euler-Lagrangian Equation。

\[\begin{align*} 0&=\int_{0}^{T}\delta x\left(-m\frac{d^2x^*}{dt^2} -\frac{\partial V}{\partial x^*}\right)\,dt\\ &=\delta{\int_{0}^{T}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-V\right)\,dt}\\ &=\delta\int L(q,\dot{q},t)\,dt\\ &=\int_{0}^{T}\left(\frac{\partial L}{\partial q^*}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^*}\right)\right)\delta{q}\,dt,\quad\frac{\partial L}{\partial q^*}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^*}\right)=0 \end{align*}\]

這樣的過程代表啥呢？

大自然希望用最節省的原則去運動，所以要求自然界中的能量守恆、自由粒子最短軌跡、邊界問題的真實軌跡、各種滿足EOM的真實軌跡，其實都是在算「動能減位能」(牛頓力學)的極值，這就是大自然希望節省並最小化的物理量(最小作用量)。

而變分就是一個數學方法，它幫我們找到這個最小化的物理量表示方式，精神是將一個函數(接近真實答案的軌跡)做一點點的任意變化，變化的值若能與真實的值差異為零，代表不管往左往右往哪裡怎麼變，都不會再改變的話，就代表我們找到了一個局部最優(極值)的解，由此對應就是大自然要最小化的物理量。

Symmetry, Conservation and Constraints (11-15)

對稱性就很像我們看一個球，轉了一點點，仍然不變。

以前學量力時知道

• 空間平移對稱性(space translation symmetry) 對應 線動量守恆
• 旋轉對稱性(rotation symmetry) 對應 角動量守恆
• 時間平移對稱性(time translation symmetry) 對應能量守恆

現在在古典力學的變分中，也能證明。

第十一節：證明Noether’s Theorem，不論是用Euler-Lagrange Equation或是基本的Variational Principle，都能證出

\[\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{q}}}\cdot\vec{w}=\text{constant}\]

是一個守恆的物理不變量。

並舉例空間平移和旋轉對稱性，這個物理不變量對應的即是線動量和角動量守恆。

第十二節、第十三節：證明Lagrangian $L$，各自對空間或時間的微分項為0的話，也有對應的守恆量。這個若我們將相對論的概念引進來，把時間和空間視為相等地位的話，更能明白對其中一個變數微分為0($L$不是該變數的函數)，都能得出對應的守恆量。

• $\pdv{L}{q_j}=0 \quad\Rightarrow\pdv{L}{\dot{q_j}}=\text{const}$

• $\pdv{L}{t}=0 \quad\Rightarrow\pdv{L}{\dot{q}}\dot{q}-L\equiv p\dot{q}-L=\text{const}$

並舉例若不是空間(極座標)的函數，可對應角動量守恆、不是時間的函數，可對應到能量守恆。

第十四節：我們在解問題的時候，或多或少會遇到系統限制，這個限制我們可以想像成是在N度空間的Hypersurface $F$運動，如果怎麼運動都離開不了這個限制的曲面，就是Holonomic Constraints，反之，就是Non-Holonomic Constraints。

但是實際上，一開始很難知道碰到的限制是什麼形式，無法準確寫出$F$是什麼，但是我們可以知道微分形式，就是在當下位置受到的某向量場$\vec{f}$，這個向量場會限制我們不是任意方向都可以走。

\[\vec{f}\cdot{d}\vec{q}=0\]

如果跟隨這個向量場，亂走一圈還在表面，就是Holonomic Constraints，反之，就是Non-Holonomic Constraints。

這個概念可以用Frobenius Criterion來表示

• Holonomic Constraint：$\vec{f}\cdot(\nabla\times\vec{f})=0$ (怎麼都爬不出來。)

• non-holonomic Constraint：$\vec{f}\cdot(\nabla\times\vec{f})\neq{0}$ (拐個彎繞一繞就出來了！)

第十五節：講述Lagragian Multiplier，解有限制條件的極值問題，可以得

\[\diff{}{t}\pdv{L}{\dot{\vec{q}}^*}-\pdv{L}{\vec{q}^*}-\lambda(t)\vec{f}(\vec{q}^*)=0\\ \Rightarrow\diff{}{t}\pdv{L}{\dot{\vec{q}}^*}=\pdv{L}{\vec{q}^*}-\lambda(t)\vec{f}\]

其中右邊第一項是我們熟知的作用力，第二項則是generalized constraint force。

Hamiltonian (16-20)

有了Lagrangian，我們可以再單純從數學的角度出發，將二階的Lagrangian轉為一階，就是對應的Hamiltonian方程式。

所以

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q}\\ \Rightarrow\diff{p}{t}=\pdv{L(q,\dot{q})}{q}=-\pdv{}{q}(p\dot{q}-L) \equiv-\pdv{H}{q}\bigg|_{p}{}\]

我們可定出Hamiltonian $H$

\[p\dot{q}(q,p)-L\equiv H(q,p)\]

整理EOM

\[\left\{ \begin{array}{ll} \diff{q}{t}=\pdv{H}{p}\\ \diff{p}{t}=-\pdv{H}{q} \end{array} \right.\]

注意$L\to H$只是歷史因素，其實也可以反向推導$H\to L$，實際上要使用Lagrangian還是Hamltonian，完全是使用情境決定。

第十七節：按照之前的變分算法，可以推導所有的Hamiltonian變分形式，要用哪一個也是看想解什麼樣的問題。

• $\delta\int_{0}^{T}(pdq-Hdt)=0$
• $\delta\int_{0}^{T}(-qdp-Hdt)=0$
• $\delta\int_{0}^{T}(pdq-Hdt)=0$ (Extended phase space)
• $\delta\int_{0}^{T}(pdq+tdH)=0$

第十八節：跟Lagrangian一樣，我們可以看到Hamiltonian分別對時間和空間微分是0的話，也有對應守恆量，兩者等價。(比較表格)

第十九節：乍看之下，對$L$來說，知道$q$就會定$\dot{q}$，但是$H$的$q,p$都可被自由決定，感覺多了一個可以討論$p$的自由度，不過如果是要討論真實軌跡，或是只關注部分的變動量，得到系統的資訊(e.g., 角動量守恆)，那兩者都能得到有意義且一樣的結果。 (比較表格)

另外$H$套用$L$的公式後，得

• 傳統力學：$H=\frac{p^2}{2m}+V$，就是總能量。
• 加入電場：$H=\frac{(\vv{p}-e\vv{A})^2}{2m}+e\phi$。

第二十節：Maupertuis’ Principle的三大假設

• $H$和時間無關
• 若改變$q$，$p,t$的變分量有限，降低自由度，維持$H$是常數。
• 對特定的$H$形式，$q,p$做的任意變動都要保持關係式$ \diff{\vv{q}}{t}=\frac{1}{\hat{M}}\vv{p} $。

可以得到，$q$選定之後，$H$要維持常數的話，$t$被限制住，$p$也被限制住。

\[H=\frac{1}{2}\vv{p}^t\cdot\frac{1}{\hat{M}}\cdot\vec{p}+V(\vv{q})=\frac{1}{2}\diff{\vv{q}^t}{t}\hat{M}\diff{\vv{q}}{t}+V= \text{constant}\\ \frac{1}{dt}=\sqrt{\frac{2E-V(\vv{q})}{d\vv{q}^t\cdot\hat{M}\cdot d\vv{q}}}\]

計算變分

\[\delta\int\vv{p}\cdot d\vv{q}+tdH=0\\ \Rightarrow \delta\int\vv{p}\cdot d\vv{q} = \delta\int\sqrt{dq^j g_{jk}(\vv{q}) dq^k}\]

第二個式子等候右邊根號項就是 Jacobi’s form of Maupertuis principle，代表多維空間中的距離。

所以此式子再次代表求最短距離。

說明一般來說即使我們取得座標複雜，空間扭曲，直接求得最短路徑的方式很艱難，可是Jacobi簡化這個方式，告訴我們，這是因為現在定的座標系統看起來很彎曲，若是在另外一個抽象的座標系統，對那個空間來說，就是求一個最短的直線距離。

這個想法超前愛因斯坦，我們說光線是彎曲的，那是因為我們定的座標畫出來是這樣，但是實際上在彎曲的世界裡，就是走直線段！

除此之外，這裡有一個精神是，有時候我們不關心系統隨著時間演化的真正動態，不關心某個時間點在哪個位置，只想透過部分資訊得到整個軌跡形狀而已(思路)。

因此以上這些被限制的假設，從變分出發，滿足Maupertuis’ Principle的條件後，就足以讓我們來證明克普勒軌跡形狀，其在configuration space是橢圓、在momentum space是正圓。

Adiabatic Invariant (21-25)

當系統隨著時間緩慢變化，參數隨時間改變，$H$也會跟著變。但在每個特定的時間下，我們可以紀錄一組參數，其對應的$H$是closed constant energy curve，然後在這個curve上做積分，計算的公式是$\oint{pdq}$，我們將其定義為$J$。

\[J\equiv\oint{pdq}\]

這個$J$代表某個action，$J$基本上隨著時間演化會有變動(fluctuation)，是$\mathcal{O}(\epsilon)$，理論上經過很長時間$\mathcal{O}(\frac{1}{\epsilon})$，會是$\mathcal{O}(1)$的變化，但卻只有$\mathcal{O}(\epsilon)$的變化。

第二十一節：證明其實這個action的變化，經過一次週期回到原本位置時，fluctuation會變得很小，非常接近原始數值，變化降為$\mathcal{O}(\epsilon^2)$，所以經過很長的時間$\mathcal{O}({\frac{1}{\epsilon}})$，卻僅有$\mathcal{O}(\epsilon)$的變化。

\[\oint_{\text{at } t=T}pdq-\oint_{\text{at }t=0}pdq=\mathcal{O}(\epsilon^2)\\ J\bigg|_{\text{when q has come back}}=J\bigg|_{\text{q=initial}}+\mathcal{O}(\epsilon^2)\]

套用在簡單的例子：有一個單擺在做SHO，我們慢慢將繩子拉起來使得單擺長度變短，頻率會變，能量也會變，可以得到

\[J=\frac{E}{\nu}\\ (\nu=\frac{2\pi}{\omega}\text{ (wanted frequency)})\]

長時間演化因為只有差$\mathcal{O}(\epsilon)$，所以

\[J_{\text{final}}=\frac{E_{\text{final}}}{\nu_{\text{final}}}\approx\frac{E_{\text{initial}}}{\nu_{\text{initial}}}=J_{\text{initial}}\]

第二十二節：這樣的結果可以和普朗克能量量子化做對應，普朗克提出

\[\frac{E_0}{\nu_0}=h \qquad\text{for a given }\nu_0\]

Lorentz也在想那如果是一個單擺，慢慢拉，能量頻率都變，比值是否一樣，所以有了Adiabatic Invariant的結果

\[\frac{E_0}{\nu_0}=\frac{E'}{\nu'}=h\]

代表著一個具有自然頻率$\nu’$的oscillator也有量子化的能量！且這個$h$跟最一開始的普朗克$E_0=h\nu_0$是一樣的！

將能階套回到Hamiltonian的公式

\[H=\frac{q^2}{2m}+V(q)=E\] \[\oint pdq=\oint\sqrt{2m\left(E_n-V(q)\right)}dq\\ E_n=\text{nth quantized energy}\]

在古典的世界裡，有自然頻率的振子也有對應的量子化能量$E=h\nu$。

第二十三節：這樣的結果可以讓量子世界也有軌道的概念，因為知道

\[J=\oint{pdq}=\frac{E}{\nu}=nh\]

代表$J$變大也是量子化的變大，又因為$J$做積分的時候，就是在對固定能量的封閉曲線內做積分，進一步得出

\[\Delta{J}\approx T\Delta{E}\]

代表當能量增加一點點，$J$也增大一點點，而這個增加的比值竟然就是軌道的週期！(第二十四節透過更簡單的變分法證明)

所以$J$在古典和量子之間的關係

\[J(E_{n+1})-J(E_n)=h\stackrel{\text{(classical)}}{\approx}T(E)(E_{n+1}-E_n)\] \[J(E_n)\stackrel{\text{(quantum)}}{=}nh\]

能量變化在古典和量子之間的關係

\[\Delta{E}\approx\frac{h}{T}\stackrel{\text{(classical)}}{=}h\nu_{\text{oscillation}}\] \[E_{n+1}-E_n\stackrel{\text{(quantum)}}{=}h\nu_{\text{emitting photon}}\]

可以連結在一起得到

\[{\nu_{\text{photon}}=\nu_{\text{oscillation}}}\]

代表古典馬克士威電磁波方程說明波以頻率振動，和量子說的能階差為觀察到的電磁波頻率，兩者是等價的，稱為semiclassical theory。

這也說明了為什麼一開始波耳提出原子模型的時候，為什麼會有軌道的概念，因為他注意到難道放出的光子頻率跟古典都沒有任何對應嗎？因此在這裡結合了量子和古典，量子軌道的概念隱含其中。

Canonical Transformation (26)

有時候解問題為了方便，我們想要做變數變換後，希望在extended phase space還能滿足Hamiltonian EOM的形式。

所以就是

\[\text{Original: }(q,p,H)\rightarrow\text{New: }\left(Q(q,p,t), P(q,p,t), K(q,p,t)\right)\]

要仍滿足

\[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{d\vec{Q}}{dt}=\frac{\partial K}{\partial \vec{P}}\\ \frac{d\vec{P}}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial \vec{Q}}\\ \delta\int\vec{P}d\vec{Q}-Kdt = 0 \end{array} \right.\]

得到的關係式($F$為generated function，可以視為某種位能場)

\[\vec{p}d\vec{q}-Hdt=P_{j'}\left(\frac{\partial f^{j'}}{\partial q^j}dq^j+\frac{\partial f^{j'}}{\partial t}dt\right)-Kdt+dF\] \[\left\{ \begin{array}{ll} p_j-P_{j'}\frac{\partial f^{j'}}{\partial q^j}=\frac{\partial F}{\partial q^j}\\ 0=\frac{\partial F}{\partial P_j}\\ K-H-P_{j'}\frac{\partial f^{j'}}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial t} \end{array} \right.\]

若給定$Q$求$P$

\[P_{j'}=\left(p_j-\frac{\partial F(\vec{q},t)}{\partial q^j}\right)\frac{\partial q^j}{\partial f^{j'}}\]

看到$P$必須取決自$F$的選擇，$F$只是$(\vec{q},t)$的函式，跟$P$無關，但任意選擇的結果，會影響最後$P$的結果，與我們預期的”有獨立對應形式”的結果完全不同($P$不是unique)。

並舉兩個例子

3D轉換

\[H(q,p)=\frac{\vec{p}^2}{2m}+V(\vec{q})\\ \vec{q}\text{: ordinary Euclidean coordinate},\quad\vec{q}\equiv\vec{r}\] \[K(\vec{Q}, \vec{P})=\frac{\left(\vec{P}+\nabla F\right)^2}{2m}+V(\vec{r})\]

可以看到原本認知的momentum(mv)也轉換成$\vec{P}+\nabla F$，$F$的選擇會影響此項，這個momentum就不會是unique。

磁場中帶電粒子

這次更Generalized一點，不一定非得是$\nabla F$的形式，舉磁場中的帶電粒子，設$\vec{A}$為vector potential

\[H=\frac{\left(\vec{P}-\rho\vec{A}\right)^2}{2m}+V(\vec{r})\]

Generalized EOM

\[m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\nabla V +\frac{d\vec{r}}{dt}\times(-\nabla\times\vec{a})\]

可以求出右邊第二項，看起來和速度垂直的力(後見之明：勞倫茲力)！

Hamiltonian-Jacobi Theory (27-29)

若我們知道真實軌跡的函數形式$S^* $

\[S^*(q_0,t_0,q_f,t_f)=\int p dq-Hdt\]

就可以知道系統的完全動態

\[\left\{ \begin{array}{ll} p_0=-\frac{\partial S^*}{\partial q_0}\\ H_0=\frac{\partial S^*}{\partial t_0}\\ p_f=\frac{\partial S^*}{\partial q_f}\\ H_f=-\frac{\partial S^*}{\partial t_f} \end{array} \right.\]

其中因為

\[p_0=-\frac{\partial S^* (q_f, q_0, t_f, t_0)}{\partial q_0}\]

再藉由$p_0$反推

\[q_f=q_f(q_0,p_0,t_0,t_f)\]

這樣只要知道 inital condition，就能推得$q_f(t_f)$和$p_f$。

然而，我們通常不可能知道真實軌跡，$S^* $長什麼樣子也不知道，這時就可以用到Hamiltonian-Jacobi Theory，透過場論解PDE的方式求得想要的答案。

第二十八節：推導出我們可以用Canonical Transformation，把起始點$(q_0,p_0,t_0)$到終點$(q_f,p_f,t_f)$想成是座標轉換，兩者都視作在extended space coordinate，當然我們也可以反過來想，不論是幾秒之後發生的座標，都可以轉回成initial condition的樣子。

對應的式子為

\[p_fdq_f-H_fdt_f=p_0dq_0+dS^*\]

看起來還是必須知道真實軌跡$S^* $的functional form，才會知道$(q(t),p(t))$的系統動態演化，但不用！只要functional form of $H(q,p,t)$已知，得Hamiltonian-Jacobi Equation的PDE

\[-\frac{\partial S^*}{\partial t_f}=H\left(q_f,\frac{\partial S^*}{\partial q_f},t_f\right)\]

一旦這個PDE解出來，就是屬於場論(field theory)，我們不用再去單獨追蹤和解一個粒子的軌跡，而是透過解出整個場的PDE，解完後，軌跡自然就知道了。

就變成只是單純在解initial value problem for S。(Can start with any function $ S(q,t=t_0)\equiv f(q)$)

代表只要知道初始條件，和S的(任意)關係式，時空中每一點S都能算出來，想要求得的軌跡就能出來了。

舉一維例子：

\[H=\frac{p^2}{2m}+V(q)\]

定任意的

\[S\equiv w_0(t)+w(q)\]

代H-J PDE得

\[\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^2+V(q)=-\frac{\partial S}{\partial t}\]

分離變數法後能求得

\[S=\pm\int_{q_0}^{q}\sqrt{2m(E-V(q))}dq-E(t-t_0)\]

不過這還不是真實軌跡$S^*$，因為$E$還沒定好。

不過可以用物理直覺來猜測這個$E$就是系統總能量，$S^* $能得出來，之後再去做驗證發現就是對的了！

第二十九節：這也可以套用在量力裡面，因為波函數也是場方程式，可以看到H-J站在中間地帶，連結了Quantum & Classical。

做近似之後，量力波函數的相位 $S$和H-J在變分中計算的action相等！

\[S\equiv \int pdq-Hdt\]

可以被視作為兩個概念：

1. “phase” of the wave propagating in space time(quantum).
2. certain information carried by “calssical trajectories”.

隱含的意思在於，我們在量力中解的波函數，說沒有粒子沒有軌跡，一切都是機率，但這些機率(場論)就是古典的particle trajectory創造給你的，是軌跡資訊的結合得到的波動相位！