量子 ─ Variational Principle 估算 Ground State Energy
對於一個系統的 Hamiltonian $H$，在不解 time-independent SE 的情況下，我們可以利用 variational principle 算出 ground state energy $E_{gs}$ 的 upper bound 。
variation
(30) 變分 ─ 總結
至此跟變分相關的筆記整理結束，學習內容可分成六大主題 Introduction Symmetry, Conservation and Constraints Hamiltonian Adabatic Invariant Canonical Transformation Hamiltoni...
(29) 變分 Hamiltonian-Jacobi Theory ─ 古典和量子的結合
最後，我們來延伸一下，看量子力學裡面的波函數。
(25) 變分 Adiabatic Invariant ─ Action-Angle Variable
這是講 Adiabatic Invariant的最後一個小節，因為都是在講$J$，所以我就歸納在一起。
(24) 變分 Adiabatic Invariant ─ 用變分推導J和E的關係
上一章節我們從SHO EOM出發，得到$J$和$E$的關係，然後才繼續推出
(23) 變分 Adiabatic Invariant ─ 古典和量子的結合(軌道概念)
$J$和$E$的關係，比值是軌道週期
(19) 變分 Hamiltonian vs Lagrangian
前面簡述完Hamiltonian和Lagrangian，乍看之下會覺得$H$比$L$多了一個自由度$(p,q)$，我們下面用簡單的等加速運動例子和角動量守恆來看待這件事情。
(18) 變分 Hamiltonian 守恆量
對時間微分 - $H$ 守恆
(17) 變分 Hamiltonian Variational Principle
我們知道變分是更基本的原則，那就一起來看一下Hamiltonian的變分形式吧！
(16) 變分 Hamiltonian Formalism and Lagrangian
前面說明的Lagragian的感覺都已經包含了變分和最小運作量的原理，現在為什麼還需要有Hamiltonian Formulation呢？
(15) 變分條件 ─ Lagragian Multiplier
現在有一個簡單且基本的微積分問題：
(14) 變分條件 ─ Holonomic & non-Holonomic Constraints
當我們在解一問題的時候，或多或少會遇到一些限制，譬如說一個轉盤只能在特定斜坡上轉下來，或是有其他已知的系統限制條件，代表我們對這個系統了解很多，對資訊掌握得很好。
(13) 變分對稱與守恆 ─ 拓展時空地位相等 Extended Configuration Space
上一章節提到將Lagrangian分別對時間和空間微分時，可以找到對應的守恆量。 不過我們早就從狹義相對論知道，時間也是一個維度，可以和空間等同視之。 現在我們也來做一樣的事情，將時間地位調到和空間相等，這個就稱做
(12) 變分對稱與守恆 ─ Lagrangian & Coordinate & Time
在Lagragian Form
(11) 變分對稱與守恆 ─ Noether’s Theorem
Noether’s Theorem 主要是在說若一個系統有連續對稱性的時候，就會有對應的守恆量，在量力也成立。而這個概念也可以在Lagragian看出來。
(10) 變分入門 ─ 小結變分的好處
變分入門十篇系列告個段落，我們來做個小結：
(9) 變分入門 ─ 引入電磁場的Lagrangian
前面第二節和第五節
(8) 變分入門 ─ 運動方程與Lagrangian的關係是什麼？
從第二節和第五節都已經看到不論是要最小化某個物理量以滿足能量守恆，或是想要用近似方法在滿足運動方程解邊界問題的時候，結論都是要最小化這個物理量
(6) 變分入門 ─ 近似方法求Simple Harmonic Oscillator(例一)
SHO的Equation of Motion(EOM)
(5) 變分入門 ─ 近似求解也用最小化
上一節介紹數學技巧，現在我們來正式解邊界問題。
(4) 變分入門 ─ 近似方法求邊界問題
初始問題(Initial Value Problem)
(3) 變分入門 ─ 為什麼是動能減位能？
前面第二節最後求得的式子代表當一個粒子，從A走到B，在位能不一樣的情況下找到最好的路徑。
(2) 變分入門 ─ 最小化的方式也能用在能量守恆嗎？
前面提到，想要找到最小化的物理量來求得一個等速直線運動自由粒子在兩點之間的最短距離。
(1) 變分入門 ─ 怎麼算兩點之間最短距離？
在學習變分的時候，常會看到least action principle、Lagrangian and Hamiltonian formulation等等，但在這之前，我們單純問一個簡單的問題：
central_force
(10) 軌道 Bohlin Transformation ─ Hooke vs Newton 總結
整理一下我們從第五節到第八節在做的事情。
(8) 軌道 Newton ─ Laplace-Runge-Lenz Vector
Gravitational Field EOM 的守恆量
(7) 軌道 Newton ─ Gravitational Field 橢圓軌道形狀、週期與位置
一樣從第一節描述軌道形狀的軌道公式
(6) 軌道 Hooke ─ 從 3D 看 2D 軌道
2D 看 1D SHO
(5) 軌道 Hooke ─ SHO 橢圓軌道形狀
從第一節可知，描述軌道形狀的軌道公式
(1) 軌道 Bertrand’s Theorem ─ 擾動的封閉軌道
新的主題開始，來講軌道。
small_oscillation
(6) Small Oscillation ─ Example: Sympathetic Vibration
現在來看一個例子，兩顆粒子串接，中間接一個比較weak的彈簧。
(5) Small Oscillation ─ Example: Reflection Symmetry
前面在解 Linear Train 的時候，是用 Translation Symmetry 來解。
(4) Small Oscillation ─ Example: Internal Structure Lattice & Linear Train
現在晶體有內部結構(internal structure)，就像食鹽一樣，有Na和Cl排成特定結構，彼此都會影響。
(3) Small Oscillation ─ Example: Linear Train
現在我們就結合前一節的方法二和方法三繼續解下去。
(2) Small Oscillation ─ Periodic Boundary Condition
求解N顆粒子的Normal Modes
(1) Small Oscillation ─ Normal Mode Justification
新的主題開始，來講Small Oscillation。
relativity
(6) 相對 ─ 都普勒效應
聲波的都普勒效應我們很熟悉，現在來看光線的都普勒效應。
(5) 相對 ─ 時空圖
現在我們重新畫時空的幾何圖，前面說看起來很像是一般的旋轉圖，但因為時間項有負號，所以其實會長得不太一樣。
(4) 相對 ─ 長度收縮及時間膨脹
複習一下勞倫茲轉換公式
(3) 相對 ─ 勞倫茲轉換應用
一樣放剛剛的圖
(2) 相對 ─ 勞倫茲轉換 Lorentz Transformation
修正因子$\gamma$
(1) 相對 ─ 伽利略轉換 Galilean Transformation
新的主題開始，來講相對論。
perturbation
(1) 軌道 Bertrand’s Theorem ─ 擾動的封閉軌道
新的主題開始，來講軌道。
quantum
量子 ─ WKB Approximation
我們現在來用 WKB 近似來解 time-independent SE，算 bound state energies 和 tunneling rate，最後也會提邊界點怎麼計算。
量子 ─ Variational Principle 估算 Ground State Energy
對於一個系統的 Hamiltonian $H$，在不解 time-independent SE 的情況下，我們可以利用 variational principle 算出 ground state energy $E_{gs}$ 的 upper bound 。